2023 AMC 8 Problema 22

Question

En una sucesión de enteros positivos, cada término después del segundo es el producto de los dos términos anteriores. El sexto término de la sucesión es

4000.

¿Cuál es el primer término?

In a sequence of positive integers, each term after the second is the product of the previous two terms. The sixth term in the sequence is

4000.

What is the first term?

1

2

4

5

10

Respuesta: D

Conceptos:recursión factorización en primos

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Escribe los primeros términos usando el primer término

x

y el segundo término

y

Write the first several terms using first term

x

and second term

y

Pista grande:

El sexto término es

x^3y^5

The sixth term is

x^3y^5

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea

x

el primer término y

y

el segundo.

Entonces obtenemos la siguiente sucesión:

x, y, xy, xy^2, x^2y^3, x^3y^5, \cdots

Por lo tanto,

x^3y^5 = 4000.

Al factorizar

4000,

obtenemos

4000 = 2^5 \cdot 5^3.

Como

x

y

y

son enteros positivos, las únicas potencias quintas que dividen a

4000

son

1

y

32.

Si

y = 1,

entonces

x^3 = 4000,

lo cual es imposible porque

4000

no es un cubo perfecto. Por lo tanto,

y^5 = 32

y

y = 2.

Esto obliga a que

x

sea igual a

5.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let

x

be the first term and

y

be the second.

Then we get the following sequence:

x, y, xy, xy^2, x^2y^3, x^3y^5, \cdots

Thus

x^3y^5 = 4000.

Factoring

4000,

gives

4000 = 2^5 \cdot 5^3.

Because

x

and

y

are positive integers, the only fifth powers that divide

4000

are

1

and

32.

If

y = 1,

then

x^3 = 4000,

which is impossible because

4000

is not a perfect cube. Therefore,

y^5 = 32

and

y = 2.

This forces

x

to equal

5.

Thus, D is the correct answer.