2022 AMC 8 Problema 23
Intenta el Problema 23 del 2022 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
23.
Se coloca un o un en cada uno de los nueve cuadros de una cuadrícula de . Abajo se muestra una configuración de ejemplo con tres en línea.
¿Cuántas configuraciones tendrán tres en línea y tres en línea?
A or is placed in each of the nine squares in a grid. Shown below is a sample configuration with three ’s in a line.
How many configurations will have three ’s in a line and three ’s in a line?
Respuesta: D
Pista pequeña:
Divide según cuántos triángulos hay en la cuadrícula
Split by how many triangles are in the grid
Pista grande:
Con exactamente triángulos, las líneas diagonales de triángulos no funcionan
With exactly triangles, diagonal triangle lines do not work
Solución:
Sea el número de triángulos. Para tener tanto una línea de triángulos como una línea de círculos, necesitamos .
Si , los tres triángulos deben formar una línea. Una fila o una columna funciona, porque los seis círculos restantes contienen una fila o columna completa de círculos. Una diagonal no funciona, porque su complemento no contiene ninguna línea completa de círculos. Así, hay configuraciones para . Por simetría, también hay configuraciones para .
Si , elige la línea de triángulos y luego el triángulo adicional. Si la línea es una fila o columna, las posiciones adicionales posibles funcionan, porque una fila o columna paralela queda toda de círculos. Esto da configuraciones. Si la línea de triángulos es una diagonal, ninguna posición adicional deja una línea completa de círculos. Por simetría, también da configuraciones.
El número total de configuraciones es .
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let be the number of triangles. To have both a triangle line and a circle line, we need .
If , the three triangles must form a line. A row or column works, because the remaining six circles contain a full circle row or column. A diagonal does not work, because its complement contains no full line of circles. Thus there are configurations for . By symmetry, there are also configurations for .
If , choose the triangle line and then the extra triangle. If the line is a row or column, all possible extra positions work, because one parallel row or column remains all circles. This gives configurations. If the triangle line is a diagonal, no extra position leaves a full circle line. By symmetry, also gives configurations.
The total number of configurations is .
Thus, the correct answer is D.
El Problema 23 en otros años
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