Question

El punto $E$ es el punto medio del lado $\overline{CD}$ en el cuadrado $ABCD,$ y $\overline{BE}$ corta a la diagonal $\overline{AC}$ en $F.$ El área del cuadrilátero $AFED$ es $45.$ ¿Cuál es el área de $ABCD$ ?

Point $E$ is the midpoint of side $\overline{CD}$ in square $ABCD,$ and $\overline{BE}$ meets diagonal $\overline{AC}$ at $F.$ The area of quadrilateral $AFED$ is $45.$ What is the area of $ABCD?$

$100$

$108$

$120$

$135$

$144$

Respuesta: B

Conceptos:semejanza cuadrado (geometría)razón de áreas

Nivel de dificultad: 1770

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Sea $s,$ la longitud del lado del cuadrado y sea $H$ el pie de la perpendicular desde $F$ hasta $\overline{BC}.$ Los triángulos rectángulos $CAB$ y $CFH$ son semejantes, por lo que $CH=FH.$ Además, los triángulos $BFH$ y $BEC$ son semejantes, y por ello $\frac{FH}{EC}=\frac{BH}{BC}.$ Como $EC=s/2,$ $BC=s,$ y $BH=s-CH=s-FH,$ obtenemos $2FH/s=1-FH/s,$ y entonces $FH=CH=s/3.$

Así, el triángulo $EFC$ tiene base $EC=s/2$ y altura $CH=s/3,$ por lo que su área es $s^2/12.$ Por consiguiente, $\begin{aligned} [AFED]&=[\triangle ACD]-[\triangle EFC]\\ &=\dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12}\\ &=\dfrac{5s^2}{12}. \end{aligned}$ Como esta área es $45$ , se obtiene $s^2=108$ , que es el área del cuadrado.

Let the square have side length $s,$ and let $H$ be the foot of the perpendicular from $F$ to $\overline{BC}.$ The right triangles $CAB$ and $CFH$ are similar, so $CH=FH.$ Also, triangles $BFH$ and $BEC$ are similar, giving $\frac{FH}{EC}=\frac{BH}{BC}.$ Since $EC=s/2,$ $BC=s,$ and $BH=s-CH=s-FH,$ this becomes $2FH/s=1-FH/s,$ so $FH=CH=s/3.$

Thus triangle $EFC$ has base $EC=s/2$ and height $CH=s/3,$ so its area is $s^2/12.$ Therefore $\begin{aligned} [AFED]&=[\triangle ACD]-[\triangle EFC]\\ &=\dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12}\\ &=\dfrac{5s^2}{12}. \end{aligned}$ Since this area is $45$ , we get $s^2=108$ , the area of the square.

2018 AMC 8 Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1770

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años