2018 AMC 8 Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2018 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución en video y solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

El punto

E

es el punto medio del lado

\overline{CD}

en el cuadrado

ABCD,

y

\overline{BE}

corta a la diagonal

\overline{AC}

en

F.

El área del cuadrilátero

AFED

es

45.

¿Cuál es el área de

ABCD

?

Point

E

is the midpoint of side

\overline{CD}

in square

ABCD,

and

\overline{BE}

meets diagonal

\overline{AC}

at

F.

The area of quadrilateral

AFED

is

45.

What is the area of

ABCD?

100

108

120

135

144

Respuesta: B

Conceptos:semejanza cuadrado (geometría)razón de áreas

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sea

s

la longitud del lado del cuadrado.

Let the square have side length

s

.

Pista grande:

Halla el triángulo pequeño que se recorta de

\triangle ACD

, luego réstalo de la mitad del cuadrado.

Find the small triangle cut from

\triangle ACD

, then subtract it from half the square.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

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Solución escrita:

Sea

s

la longitud del lado del cuadrado, y sea

H

el pie de la perpendicular desde

F

hasta

\overline{BC}.

Los triángulos rectángulos

CAB

y

CFH

son semejantes, por lo que

CH=FH.

Además, los triángulos

BFH

y

BEC

son semejantes, y por ello

\frac{FH}{EC}=\frac{BH}{BC}.

Como

EC=\frac{s}{2},

BC=s,

y

BH=s-CH=s-FH,

obtenemos

\frac{2FH}{s}=1-\frac{FH}{s},

y entonces

FH=CH=\frac{s}{3}.

Así, el triángulo

EFC

tiene base

EC=\frac{s}{2}

y altura

CH=\frac{s}{3},

por lo que su área es

\frac{s^2}{12}.

Por consiguiente,

\begin{aligned} [AFED]&=[\triangle ACD]-[\triangle EFC]\\ &=\dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12}\\ &=\dfrac{5s^2}{12}. \end{aligned}

Como esta área es

45

, se obtiene

s^2=108

, que es el área del cuadrado.

Let the square have side length

s,

and let

H

be the foot of the perpendicular from

F

to

\overline{BC}.

The right triangles

CAB

and

CFH

are similar, so

CH=FH.

Also, triangles

BFH

and

BEC

are similar, giving

\frac{FH}{EC}=\frac{BH}{BC}.

Since

EC=\frac{s}{2},

BC=s,

and

BH=s-CH=s-FH,

this becomes

\frac{2FH}{s}=1-\frac{FH}{s},

so

FH=CH=\frac{s}{3}.

Thus triangle

EFC

has base

EC=\frac{s}{2}

and height

CH=\frac{s}{3},

so its area is

\frac{s^2}{12}.

Therefore

\begin{aligned} [AFED]&=[\triangle ACD]-[\triangle EFC]\\ &=\dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12}\\ &=\dfrac{5s^2}{12}. \end{aligned}

Since this area is

45

, we get

s^2=108

, the area of the square.