2016 AMC 8 Problema 23

Question

Dos círculos congruentes centrados en los puntos

A

y

B

pasan cada uno por el centro del otro círculo. La recta que contiene a

A

y

B

se prolonga para intersecar a los círculos en los puntos

C

y

D.

Los círculos se intersecan en dos puntos, uno de los cuales es

E.

¿Cuál es la medida en grados del

\angle CED

?

Two congruent circles centered at points

A

and

B

each pass through the other circle’s center. The line containing both

A

and

B

is extended to intersect the circles at points

C

and

D.

The circles intersect at two points, one of which is

E.

What is the degree measure of

\angle CED?

90

105

120

135

150

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero ángulo inscrito persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Los centros y uno de los puntos de intersección forman un triángulo equilátero.

The centers and one intersection point form an equilateral triangle.

Pista grande:

Usa el hecho de que los ángulos que subtienden diámetros son ángulos rectos.

Use the fact that angles subtending diameters are right angles.

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Sabemos que

AE = EB = AB

porque todos son radios de círculos congruentes, así que los tres puntos forman un triángulo equilátero y

\angle AEB = 60^{\circ}.

Además, como

\overline{DB}

y

\overline{AC}

son diámetros,

\angle DEB=\angle AEC=90^\circ.

Por lo tanto,

\begin{aligned} \angle CED &= \angle DEB+\angle AEC\\ &\qquad-\angle AEB\\ &=90^\circ+90^\circ-60^\circ\\ &=120^\circ. \end{aligned}

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We know that

AE = EB = AB

since they are all radii of congruent circles, so they form an equilateral triangle, which means that

\angle AEB = 60^{\circ}.

The segments

\overline{DB}

and

\overline{AC}

are diameters, so

\angle DEB=\angle AEC=90^\circ.

Therefore,

\begin{aligned} \angle CED &= \angle DEB+\angle AEC\\ &\qquad-\angle AEB\\ &=90^\circ+90^\circ-60^\circ\\ &=120^\circ. \end{aligned}

Thus, C is the correct answer.