2016 AMC 8 Problema 22

Question

El rectángulo

DEFA

de abajo es un rectángulo

3 \times 4

con

DC=CB=BA=1.

El área de las “alas de murciélago” (área sombreada) es

Rectangle

DEFA

below is a

3 \times 4

rectangle with

DC=CB=BA=1.

The area of the “bat wings” (shaded area) is

2

2 \dfrac{1}{2}

3

3 \dfrac{1}{2}

4

Respuesta: C

Conceptos:semejanza área del triángulo

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Usa el punto de intersección de las dos diagonales que forman las alas de murciélago.

Use the intersection point of the two diagonals that form the bat wings.

Pista grande:

Los triángulos semejantes dan la altura del pequeño triángulo recortado en la parte superior.

Similar triangles give the height of the small triangle cut off at the top.

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea

I

el punto medio de

\overline{AD}

y

G

el punto medio de

\overline{EF}.

Sea también

H

la intersección de

\overline{CF}

y

\overline{BE}.

El área de

\triangle BCE

es

\dfrac12\cdot1\cdot4=2.

Por simetría,

\triangle BCH

y

\triangle EFH

son semejantes. Como sus bases están en razón

1 : 3

, sus alturas también. Por tanto,

3IH = HG,

lo que implica

IH = 1.

Así,

[\triangle BCH]=\dfrac12\cdot1\cdot1=\dfrac12.

Luego

[\triangle ECH]=2-\dfrac12=\dfrac32.

Como la figura es simétrica, el área total de las alas es

2\cdot\dfrac32=3.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Define

I

to be the midpoint of

\overline{AD}

and

G

to be the midpoint of

\overline{EF}.

Also define

H

to be the intersection of

\overline{CF}

and

\overline{BE}.

The area of

\triangle BCE

is

\dfrac12\cdot1\cdot4=2.

By symmetry, we can see that

\triangle BCH

and

\triangle EFH

are similar. Since their bases are in a

1 : 3

ratio, so are their altitudes. This means that

3IH = HG,

which implies that

IH = 1.

Therefore,

[\triangle BCH]=\dfrac12\cdot1\cdot1=\dfrac12.

It follows that

[\triangle ECH]=2-\dfrac12=\dfrac32.

Since the figure is symmetric, the total area of the bat wings is

2\cdot\dfrac32=3.

Thus, C is the correct answer.