2012 AMC 8 Problema 23

Question

Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen perímetros iguales. Si el área del triángulo es

4

, ¿cuál es el área del hexágono?

An equilateral triangle and a regular hexagon have equal perimeters. If the triangle’s area is

4

, what is the area of the hexagon?

4

5

6

4\sqrt3

6\sqrt3

Perímetros iguales hacen que el lado del hexágono sea la mitad del lado del triángulo.

Equal perimeters make the hexagon side half the triangle side.

Un hexágono regular se forma con seis triángulos equiláteros congruentes.

A regular hexagon is made from six congruent equilateral triangles.

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Denotemos la longitud del lado del triángulo por

s.

Entonces el perímetro es

3s.

Por lo tanto, la longitud del lado del hexágono es

\frac{3s}{6} = \frac s2.

Como se muestra arriba, un hexágono se puede formar con

6

triángulos equiláteros de lado

\dfrac{s}{2}

. Cada uno se obtiene reduciendo el triángulo original por un factor de

\dfrac{1}{2},

de modo que su área se reduce por un factor de

(\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4} .

Por tanto, el área de cada triángulo pequeño es

4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1.

Como hay

6

de ellos, el área total es

6\cdot 1 = 6.

Así, la respuesta es C.

Let the side length of the triangle be

s.

This means the perimeter is

3s.

Therefore, the side length for the hexagon is

\frac{3s}{6} = \frac s2.

A hexagon can be made of

6

equilateral triangles with side length

\dfrac{s}{2}

as shown above. Each triangle is the original triangle scaled down by

\dfrac{1}{2},

so the area is scaled down by

(\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4} .

Therefore, the area of each of these triangles is

4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1.

Since there are

6

of them, the area is

6\cdot 1 = 6.

Thus, the answer is C .

El Problema 23 en otros años