2011 AMC 8 Problema 18

Question

Un dado justo de seis caras se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer número que salga sea mayor o igual que el segundo número?

A fair six-sided die is rolled twice. What is the probability that the first number that comes up is greater than or equal to the second number?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{5}{12}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{7}{12}

\dfrac{5}{6}

Respuesta: D

Conceptos:dados (probabilidad)simetría

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Por simetría, la mitad de los lanzamientos desiguales tienen el primer lanzamiento mayor.

By symmetry, half of the unequal rolls have the first roll larger.

Pista grande:

Separa los lanzamientos iguales de los desiguales.

Separate the equal rolls from the unequal rolls.

Solución:

Hay

3

resultados posibles al lanzar un dado dos veces: el primer número es mayor que el segundo, ambos números son iguales, o el primer número es menor que el segundo. El primer y el tercer resultado tienen la misma probabilidad ya que son simétricos.

El segundo resultado tiene una probabilidad de

\dfrac{1}{6}

de ocurrir, ya que el primer número puede ser cualquiera, y el segundo número debe ser igual al primero. Los otros dos resultados tienen una probabilidad combinada de

1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}.

Esto significa que cada resultado tiene una probabilidad de

\dfrac{5}{6} \div 2 = \dfrac{5}{12}

de ocurrir.

La probabilidad buscada es el primer resultado más el segundo resultado, para una probabilidad total de

\dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{12}.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

There are

3

possible outcomes when rolling a die twice: the first number is greater than the second, both numbers are equal, or the first number is less than the second number. The first and third outcomes have the same probability since they are symmetric.

The second outcome has a

\dfrac{1}{6}

chance of happening, since the first number can be anything, and the second number must equal the first number. The other two outcomes have a combined probability of

1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}.

This means that each outcome has a

\dfrac{5}{6} \div 2 = \dfrac{5}{12}

chance of happening.

The desired probability is the first outcome plus the second outcome, for a total probability of

\dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{12}.

Thus, D is the correct answer.