2010 AMC 8 Problema 23

Question

Los semicírculos

POQ

y

ROS

pasan por el centro del círculo

O.

¿Cuál es la razón entre las áreas combinadas de los dos semicírculos y el área del círculo

O

?

Semicircles

POQ

and

ROS

pass through the center of circle

O.

What is the ratio of the combined areas of the two semicircles to the area of circle

O?

\dfrac{\sqrt 2}{4}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{\pi}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{\sqrt 2}{2}

Los dos semicírculos juntos tienen el área de un círculo de radio

1

The two semicircles together have the area of one circle of radius

1

.

Halla el radio del círculo

O

a partir de las coordenadas

Find the radius of circle

O

from the coordinates.

El área de cada uno de los semicírculos es

\pi \dfrac {r^2}{2} .

Cada uno de ellos tiene radio

1,

así que su área combinada es

\pi \frac{1}{2} + \pi \frac 12 = \pi.

Luego, el radio del círculo mayor es igual a la longitud de

OQ,

que es igual a

\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt 2.

Su área es

\pi r^2 = \pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi.

Esto significa que la razón es

\dfrac{\pi}{2\pi} = \frac 12.

Por lo tanto, la respuesta es B.

The area of each of the semicircles is

\pi \dfrac {r^2}{2} .

Each of them has a radius of

1,

so their combined area is

\pi \frac{1}{2} + \pi \frac 12 = \pi.

Next, the radius of the larger circle is equal to the length of

OQ,

which is equal to

\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt 2.

Its area is

\pi r^2 = \pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi.

This means the ratio is

\dfrac{\pi}{2\pi} = \frac 12.

Thus, the answer is B .

El Problema 23 en otros años