2001 AMC 8 Problema 23

Question

Los puntos

R,

S

y

T

son vértices de un triángulo equilátero, y los puntos

X,

Y

y

Z

son puntos medios de sus lados. ¿Cuántos triángulos no congruentes se pueden dibujar usando tres cualesquiera de estos seis puntos como vértices?

Points

R,

S

and

T

are vertices of an equilateral triangle, and points

X,

Y

and

Z

are midpoints of its sides. How many noncongruent triangles can be drawn using any three of these six points as vertices?

1

2

3

4

20

Respuesta: D

Conceptos:conteo de figuras en diagramas congruencia (geometría)simetría

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Clasifica los triángulos por longitudes de lados

Classify triangles by side lengths

Pista grande:

Usa la simetría para evitar contar de nuevo los casos congruentes

Use symmetry to avoid recounting congruent cases

Solución:

Usando la longitud del lado de los triángulos equiláteros pequeños como una unidad, los posibles patrones de longitudes de lados de triángulo son:

equilátero con lados

2,2,2

; equilátero con lados

1,1,1

; isósceles pequeño con lados

1,1,\sqrt3

; e isósceles más grande con lados

1,\sqrt3,2

.

Estos cuatro patrones aparecen en la figura, y la simetría muestra que todo triángulo formado por tres de los seis puntos es congruente con uno de ellos.

En total, hay

4

triángulos no congruentes.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Using the side length of the small equilateral triangles as one unit, the possible triangle side-length patterns are:

equilateral with sides

2,2,2

; equilateral with sides

1,1,1

; small isosceles with sides

1,1,\sqrt3

; and larger isosceles with sides

1,\sqrt3,2

.

These four patterns all occur in the figure, and symmetry shows every triangle formed by three of the six points matches one of them.

Thus there are

4

noncongruent triangles.

Thus, D is the correct answer.