1999 AMC 8 Problema 24

Question

Cuando

1999^{2000}

se divide entre

5,

el residuo es

When

1999^{2000}

is divided by

5,

the remainder is

4

3

2

1

0

Respuesta: D

Conceptos:aritmética modular dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Reduce

1999

módulo

5

Reduce

1999

modulo

5

Pista grande:

Las potencias pares de

-1

módulo

5

tienen el mismo residuo

Even powers of

-1

modulo

5

have the same remainder

Solución:

Nota que para hallar el residuo al dividir entre

5,

solo importa la cifra de las unidades.

Esto significa que solo tenemos que observar cómo funcionan las potencias de la cifra de las unidades, es decir, las potencias de

9.

Luego, observando las potencias de

9,

vemos que la cifra de las unidades alterna entre

9

y

1:

9, 81, 729, \cdots.

Esto significa que

1999^{2000}

termina en

1

ya que la potencia es par.

El residuo al dividir entre

5

es entonces

1,

ya que es

1

más que un múltiplo de

10.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that to find the remainder when divided by

5,

we only care about the units digit.

This means we only have to observe how the powers of the units digit work, namely the powers of

9.

Then, looking at powers of

9,

we see that the units digit alternates between

9

and

1:

9, 81, 729, \cdots.

This means that

1999^{2000}

ends in a

1

since the power is even.

The remainder when divided by

5

is then

1,

since it is

1

more than a multiple of

10.

Thus, D is the correct answer.