1997 AMC 8 Problema 23
Intenta el Problema 23 del 1997 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1997 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
23.
Hay enteros positivos que tienen estas propiedades:
I. la suma de los cuadrados de sus dígitos es y
II. cada dígito es mayor que el que está a su izquierda.
El producto de los dígitos del mayor entero que cumple ambas propiedades es
There are positive integers that have these properties:
I. the sum of the squares of their digits is and
II. each digit is larger than the one to its left.
The product of the digits of the largest integer with both properties is
Respuesta: C
Pista pequeña:
Prueba el mayor dígito final posible y ve disminuyendo
Try the largest possible final digit and work downward
Pista grande:
Con más dígitos, la suma mínima de cuadrados se vuelve demasiado grande
More digits make the minimum square-sum too large
Solución:
Si el número tuviera cinco dígitos, los dígitos positivos crecientes más pequeños posibles darían una suma de cuadrados que ya es demasiado grande. Así que el mayor número válido tiene a lo sumo cuatro dígitos.
Para un número de cuatro dígitos con , el último dígito no puede ser o mayor, ya que incluso .
Probando los cuadrados restantes deben sumar y Esto da el número válido
Cualquier número que termine en o menos es menor que así que el mayor entero válido es
El producto de sus dígitos es
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
If the number had five digits, the smallest possible increasing positive digits would give square-sum already too large. So the largest valid number has at most four digits.
For a four-digit number with , the last digit cannot be or larger, since even .
Trying the remaining squares must sum to and This gives the valid number
Any number ending with or less is smaller than so the largest valid integer is
The product of its digits is
Thus, C is the correct answer.
El Problema 23 en otros años
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