Question

Joey y Chloe y su hija Zoe cumplen años el mismo día. Joey es $1$ año mayor que Chloe, y Zoe tiene hoy exactamente $1$ año. Hoy es el primero de los $9$ cumpleaños en los que la edad de Chloe será un múltiplo entero de la edad de Zoe. ¿Cuál será la suma de los dos dígitos de la edad de Joey la próxima vez que su edad sea un múltiplo de la de Zoe?

Joey and Chloe and their daughter Zoe all have the same birthday. Joey is $1$ year older than Chloe, and Zoe is exactly $1$ year old today. Today is the first of the $9$ birthdays on which Chloe's age will be an integral multiple of Zoe's age. What will be the sum of the two digits of Joey's age the next time his age is a multiple of Zoe's age?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: E

Conceptos:conteo de factores divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Sea $n$ la edad actual de Chloe; Zoe tiene $1.$ Dentro de $t$ años, la razón de sus edades será $\dfrac{n+t}{1+t}=1+\dfrac{n-1}{1+t},$ que es entera exactamente cuando $1+t$ divide a $n-1.$ Por tanto, $n-1$ tiene exactamente $9$ divisores positivos.

Un número con $9$ divisores tiene la forma $p^8$ o $p^2q^2.$ La única posibilidad de dos cifras es $2^2\cdot3^2=36,$ así que Chloe tiene $37$ años y Joey tiene $38.$

La edad de Joey, $38+t$ , es múltiplo de la edad de Zoe, $1+t$ , exactamente cuando $1+t$ divide a $37.$ La siguiente vez ocurre para $t=36,$ cuando Joey tiene $74.$ La suma de sus cifras es $7+4=11.$ Así, E es la respuesta correcta.

Let Chloe be $n$ today; Zoe is $1.$ In $t$ years their age ratio is $\dfrac{n+t}{1+t}=1+\dfrac{n-1}{1+t},$ which is an integer exactly when $1+t$ divides $n-1.$ Thus $n-1$ has exactly $9$ positive divisors.

A number with $9$ divisors has the form $p^8$ or $p^2q^2.$ The only two-digit possibility is $2^2\cdot3^2=36,$ so Chloe is $37$ and Joey is $38.$

Joey's age $38+t$ is a multiple of Zoe's age $1+t$ exactly when $1+t$ divides $37.$ The next time is $t=36,$ when Joey is $74.$ Its digit sum is $7+4=11.$ Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 19

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

El Problema 19 en otros años