Question

Se selecciona al azar un número $m$ del conjunto y se selecciona al azar un número $n$ de ¿Cuál es la probabilidad de que $m^n$ tenga dígito de las unidades igual a $1$ ? $\{11,13,15,17,19\},$ $\{1999,2000,2001,\ldots,2018\}.$

A number $m$ is randomly selected from the set $\{11,13,15,17,19\},$ and a number $n$ is randomly selected from $\{1999,2000,2001,\ldots,2018\}.$ What is the probability that $m^n$ has a units digit of $1?$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{7}{20}$

$\dfrac{2}{5}$

Respuesta: E

Conceptos:dígito de las unidades exponenciación modular probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Solo importa el dígito de las unidades de $m$ . Entre los $20$ exponentes consecutivos posibles, cada residuo módulo $4$ aparece $5$ veces, y $10$ exponentes son pares. Una base que termina en $1$ funciona para los $20$ exponentes; las bases que terminan en $3$ o $7$ funcionan para los $5$ exponentes divisibles por $4;$ una base que termina en $5$ nunca funciona; y una base que termina en $9$ funciona para los $10$ exponentes pares.

Así, $20+5+0+5+10=40$ de los $5\cdot20=100$ pares igualmente probables funcionan, y la probabilidad es $\dfrac{40}{100}=\dfrac25.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Only the units digit of $m$ matters. Among the $20$ consecutive possible exponents, each residue modulo $4$ occurs $5$ times, and $10$ exponents are even. A base ending in $1$ succeeds for all $20$ exponents; bases ending in $3$ or $7$ succeed for the $5$ exponents divisible by $4;$ a base ending in $5$ never succeeds; and a base ending in $9$ succeeds for the $10$ even exponents.

Thus $20+5+0+5+10=40$ of the $5\cdot20=100$ equally likely pairs work, and the probability is $\dfrac{40}{100}=\dfrac25.$

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 19

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

El Problema 19 en otros años