Question

Tres cuadrados de una pulgada se colocan con sus bases sobre una recta. El cuadrado central se levanta y se gira $45^\circ,$ como se muestra. Luego se centra y se baja a su ubicación original hasta que toca los dos cuadrados adyacentes. ¿A cuántas pulgadas está el punto $B$ de la recta sobre la que se colocaron las bases de los cuadrados originales?

Three one-inch squares are placed with their bases on a line. The center square is lifted out and rotated $45^\circ,$ as shown. Then it is centered and lowered into its original location until it touches both of the adjoining squares. How many inches is the point $B$ from the line on which the bases of the original squares were placed?

$1$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}$

$2$

Respuesta: D

Conceptos:transformación cuadrado (geometría)triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1760

Solución:

Al bajar el cuadrado girado, sus dos lados inferiores se apoyan en las esquinas superiores interiores de los cuadrados adyacentes, que están a altura $1.$ El vértice inferior está centrado entre esas esquinas, de modo que cada una está horizontalmente a $\tfrac12$ unidad de él. Un lado inferior tiene pendiente de magnitud $1$ , así que sube $\tfrac12$ unidad hasta la esquina. Por tanto, el vértice inferior está a altura $1-\tfrac12=\tfrac12.$

El punto $B$ es el vértice opuesto, una diagonal vertical completa de longitud $\sqrt2$ más arriba. Su altura es, por tanto, $\tfrac12+\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When lowered, the rotated square's two lower edges rest on the inner top corners of the adjoining squares, which are at height $1.$ The bottom vertex is centered between those corners, so each corner is horizontally $\tfrac12$ unit from it. A lower edge has slope $1$ in magnitude, so it rises $\tfrac12$ unit on the way to a corner. Therefore the bottom vertex is at height $1-\tfrac12=\tfrac12.$

Point $B$ is the opposite vertex, a full vertical diagonal of length $\sqrt2$ higher. Its height is therefore $\tfrac12+\sqrt2.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 10A Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1760

Solución:

El Problema 19 en otros años