La notación $n!$ (que se lee “$n$ factorial”) se define como el producto de los primeros $n$ enteros positivos. (Por ejemplo, $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6.$) Define el superfactorial de un entero positivo, denotado por $n^!,$ como el producto de los factoriales de los primeros $n$ enteros. (Por ejemplo, $3^! = 1! \cdot 2! \cdot 3! = 12.$) ¿Cuántos factores $7$ aparecen en la factorización en primos de $51^!,$ el superfactorial de $51$?

Respuesta: E

Conceptos:Fórmula de Legendrefactorial

Nivel de dificultad: 1820

AMC 8AMC 10AMC 12AIME

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Para cada $n!$, el número de factores $7$ es $\lfloor n/7\rfloor+\lfloor n/49\rfloor$. Por lo tanto, el exponente de $7$ en $51^{!}$ es $\sum_{n=1}^{51}\lfloor n/7\rfloor+\sum_{n=1}^{51}\lfloor n/49\rfloor$. La primera suma es $7(1+2+3+4+5+6)+3\cdot7$ $=168$, y la segunda suma es $3$. El total es $171$.

For each $n!$, the number of factors of $7$ is $\lfloor n/7\rfloor+\lfloor n/49\rfloor$. Therefore the exponent of $7$ in $51^{!}$ is $\sum_{n=1}^{51}\lfloor n/7\rfloor+\sum_{n=1}^{51}\lfloor n/49\rfloor$. The first sum is $7(1+2+3+4+5+6)+3\cdot7$ $=168$, and the second sum is $3$. The total is $171$.