2026 AMC 8 Problema 24

Question

La notación

n!

(que se lee “

n

factorial”) se define como el producto de los primeros

n

enteros positivos. (Por ejemplo,

3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6.

) Define el superfactorial de un entero positivo, denotado por

n^!,

como el producto de los factoriales de los primeros

n

enteros. (Por ejemplo,

3^! = 1! \cdot 2! \cdot 3! = 12.

) ¿Cuántos factores

7

aparecen en la factorización en primos de

51^!,

el superfactorial de

51

?

The notation

n!

(read “

n

factorial”) is defined as the product of the first

n

positive integers. (For example,

3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6.

) Define the superfactorial of a positive integer, denoted by

n^!,

to be the product of the factorials of the first

n

integers. (For example,

3^! = 1! \cdot 2! \cdot 3! = 12.

) How many factors of

7

appear in the prime factorization of

51^!,

the superfactorial of

51?

147

150

156

168

171

Respuesta: E

Conceptos:Fórmula de Legendre factorial

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Cuenta cuántas veces aparecen múltiplos de

7

en los factoriales.

Count how many times multiples of

7

appear in the factorials

Pista grande:

Usa

\sum_{n=1}^{51}(\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor)

.

Use

\sum_{n=1}^{51}(\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor)

Solución en video:

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Solución escrita:

Para cada

n!

, el número de factores

7

es

\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor

. Por lo tanto, el exponente de

7

en

51^{!}

es

\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{49}\rfloor

. La primera suma es

7(1+2+3+4+5+6)+3\cdot7

=168

, y la segunda suma es

3

. El total es

171

.

For each

n!

, the number of factors of

7

is

\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor

. Therefore the exponent of

7

in

51^{!}

is

\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{49}\rfloor

. The first sum is

7(1+2+3+4+5+6)+3\cdot7

=168

, and the second sum is

3

. The total is

171

.