2023 AMC 8 Problema 24

Question

El triángulo isósceles

ABC

tiene lados iguales

AB

y

BC.

En las figuras de abajo, se trazan segmentos paralelos a

\overline{AC}

de modo que las porciones sombreadas de

\triangle ABC

tengan la misma área. Las alturas de las dos porciones sin sombrear son

11

y

5

unidades, respectivamente. ¿Cuál es la altura

h

de

\triangle ABC

?

Isosceles triangle

ABC

has equal side lengths

AB

and

BC.

In the figures below, segments are drawn parallel to

\overline{AC}

so that the shaded portions of

\triangle ABC

have the same area. The heights of the two unshaded portions are

11

and

5

units, respectively. What is the height

h

of

\triangle ABC?

14.6

14.8

15

15.2

15.4

Respuesta: A

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Áreas sombreadas iguales dan una ecuación entre las áreas de los dos triángulos sin sombrear

Equal shaded areas give an equation between the two unshaded triangle areas

Pista grande:

Las áreas de triángulos semejantes escalan como el cuadrado de sus alturas

Similar triangle areas scale as the square of their heights

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea

a

el área de

\triangle ABC.

El triángulo sin sombrear de la figura izquierda tiene altura

11

y es semejante al triángulo completo, por lo que su área es

a\left(\frac{11}{h}\right)^2.

Por lo tanto, el área sombreada de esa figura es

a\left(1-\left(\frac{11}{h}\right)^2\right).

En la figura derecha, el triángulo sombreado tiene altura

h-5

y es semejante al triángulo completo, por lo que su área es

a\left(\frac{h-5}{h}\right)^2.

Al igualar las áreas sombreadas y cancelar

a

, obtenemos

1-\left(\dfrac{11}{h}\right)^2 =\left(\dfrac{h-5}{h}\right)^2.

Al simplificar, resulta

h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.

Esto se reduce a

10h = 146,

así que

h=14.6.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let

a

be the area of

\triangle ABC.

The unshaded triangle in the left figure has height

11

and is similar to the full triangle, so its area is

a\left(\frac{11}{h}\right)^2.

Therefore, the shaded area there is

a\left(1-\left(\frac{11}{h}\right)^2\right).

In the right figure, the shaded triangle has height

h-5

and is similar to the full triangle, so its area is

a\left(\frac{h-5}{h}\right)^2.

Equating the shaded areas and canceling

a

gives

1-\left(\dfrac{11}{h}\right)^2 =\left(\dfrac{h-5}{h}\right)^2.

Simplifying yields

h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.

This simplifies to

10h = 146,

so

h=14.6.

Thus, A is the correct answer.