2023 AMC 8 Problema 23

Question

Cada casilla de una cuadrícula de

3 \times 3

se llena aleatoriamente con una de las

4

fichas sombreadas y sin sombrear que se muestran abajo, a la derecha.

¿Cuál es la probabilidad de que el mosaico contenga un gran rombo sombreado en una de las cuadrículas menores de

2 \times 2

? Abajo se muestra un ejemplo de tal mosaico.

Each square in a

3 \times 3

grid is randomly filled with one of the

4

shaded-and-unshaded tiles shown below on the right.

What is the probability that the tiling will contain a large shaded diamond in one of the smaller

2 \times 2

grids? Below is an example of such a tiling.

\dfrac{1}{1024}

\dfrac{1}{256}

\dfrac{1}{64}

\dfrac{1}{16}

\dfrac{1}{4}

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Elige qué cuadrícula de

2\times2

contiene el gran rombo

Choose which

2\times2

grid contains the large diamond

Pista grande:

Una vez elegida una cuadrícula de

2\times2

, las orientaciones de sus cuatro fichas quedan determinadas

Once a

2\times2

grid is chosen, its four tile orientations are forced

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay

4^9

mosaicos posibles. Hay

4

cuadrículas de

2\times2

posibles donde podría aparecer un gran rombo sombreado.

Después de elegir una de estas cuadrículas de

2\times2

, las orientaciones de las cuatro fichas dentro de ella quedan determinadas, y las otras

5

casillas se pueden llenar de cualquier manera. Esto da

4^5

mosaicos para cada cuadrícula de

2\times2

elegida.

Dos cuadrículas de

2\times2

diferentes no pueden contener ambas un gran rombo sombreado, porque sus casillas superpuestas requerirían orientaciones de fichas incompatibles. Por lo tanto, el número de mosaicos favorables es

4\cdot4^5=4^6.

La probabilidad buscada es entonces

\dfrac{4^6}{4^9} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There are

4^9

possible tilings. There are

4

possible

2\times2

grids where a large shaded diamond could appear.

After one of these

2\times2

grids is chosen, the four tile orientations inside it are forced, and the other

5

squares can be filled in any way. This gives

4^5

tilings for each chosen

2\times2

grid.

Two different

2\times2

grids cannot both contain a large shaded diamond, because their overlapping squares would require incompatible tile orientations. Therefore the number of favorable tilings is

4\cdot4^5=4^6.

The desired probability is then

\dfrac{4^6}{4^9} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}.

Thus, C is the correct answer.