2023 AMC 8 Problema 14

Question

Nicolas planea enviar un paquete a su amigo Anton, que es coleccionista de estampillas. Para pagar el franqueo, Nicolas quisiera cubrir el paquete con una gran cantidad de estampillas. Supongamos que tiene una colección de estampillas de

5

centavos,

10

centavos y

25

centavos, con exactamente

20

de cada tipo. ¿Cuál es el mayor número de estampillas que Nicolas puede usar para formar exactamente

\$7.10

de franqueo?

(Nota: La cantidad

\$7.10

corresponde a

7

dólares y

10

centavos. Un dólar vale

100

centavos.)

Nicolas is planning to send a package to his friend Anton, who is a stamp collector. To pay for the postage, Nicolas would like to cover the package with a large number of stamps. Suppose he has a collection of

5

-cent,

10

-cent, and

25

-cent stamps, with exactly

20

of each type. What is the greatest number of stamps Nicolas can use to make exactly

\$7.10

in postage?

(Note: The amount

\$7.10

corresponds to

7

dollars and

10

cents. One dollar is worth

100

cents.)

45

46

51

54

55

Respuesta: E

Conceptos:optimización aritmética modular

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Usa la mayor cantidad posible de estampillas de bajo valor

Use as many low-value stamps as possible

Pista grande:

Todas las estampillas de

5

y

10

centavos suman

300

centavos, dejando un valor que no es múltiplo de

25

All

5

- and

10

-cent stamps total

300

cents, leaving a nonmultiple of

25

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean

a,

b,

c

las cantidades de estampillas de

5

,

10

, y

25

centavos, y sea

n=a+b+c.

Al dividir entre

5

la ecuación del valor se obtiene

a+2b+5c=142,

así que

n+b+4c=142.

Supongamos que

n\ge56.

Entonces

b+4c\le86.

Además,

a=142-2b-5c\le20,

así que

2b+5c\ge122.

Al combinar estas desigualdades se obtiene

c\le16,

pero entonces

2b+5c\le2(20)+5(16)=120,

una contradicción. Por lo tanto, se pueden usar como máximo

55

estampillas.

La cota se alcanza con

a=19,

b=19,

c=17:

19(5)+19(10)+17(25)=710.

Así, el mayor número posible de estampillas es

19+19+17=55.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let

a,

b,

c

be the numbers of

5

-,

10

-, and

25

-cent stamps, and let

n=a+b+c.

Dividing the value equation by

5

gives

a+2b+5c=142,

so

n+b+4c=142.

Suppose

n\ge56.

Then

b+4c\le86.

Also

a=142-2b-5c\le20,

so

2b+5c\ge122.

Combining these inequalities gives

c\le16,

but then

2b+5c\le2(20)+5(16)=120,

a contradiction. Thus at most

55

stamps can be used.

The bound is attainable with

a=19,

b=19,

c=17:

19(5)+19(10)+17(25)=710.

Hence the greatest possible number of stamps is

19+19+17=55.

Thus, E is the correct answer.