Question

Nicolas planea enviar un paquete a su amigo Anton, que es coleccionista de estampillas. Para pagar el franqueo, Nicolas quisiera cubrir el paquete con una gran cantidad de estampillas. Supongamos que tiene una colección de estampillas de $5$ centavos, $10$ centavos y $25$ centavos, con exactamente $20$ de cada tipo. ¿Cuál es el mayor número de estampillas que Nicolas puede usar para formar exactamente $\$7.10$ de franqueo?

(Nota: La cantidad $\$7.10$ corresponde a $7$ dólares y $10$ centavos. Un dólar vale $100$ centavos.)

Nicolas is planning to send a package to his friend Anton, who is a stamp collector. To pay for the postage, Nicolas would like to cover the package with a large number of stamps. Suppose he has a collection of $5$ -cent, $10$ -cent, and $25$ -cent stamps, with exactly $20$ of each type. What is the greatest number of stamps Nicolas can use to make exactly $\$7.10$ in postage?

(Note: The amount $\$7.10$ corresponds to $7$ dollars and $10$ cents. One dollar is worth $100$ cents.)

$45$

$46$

$51$

$54$

$55$

Respuesta: E

Conceptos:optimización aritmética modular

Nivel de dificultad: 1480

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean $a,b,c$ las cantidades de estampillas de $5$ , $10$ , y $25$ centavos, y sea $n=a+b+c.$ Al dividir entre $5$ la ecuación del valor se obtiene $a+2b+5c=142,$ así que $n+b+4c=142.$

Supongamos que $n\ge56.$ Entonces $b+4c\le86.$ Además, $a=142-2b-5c\le20,$ así que $2b+5c\ge122.$ Al combinar estas desigualdades se obtiene $c\le16,$ pero entonces $2b+5c\le2(20)+5(16)=120,$ una contradicción. Por lo tanto, se pueden usar como máximo $55$ estampillas.

La cota se alcanza con $a=19, b=19, c=17:$ $19(5)+19(10)+17(25)=710.$ Así, el mayor número posible de estampillas es $19+19+17=55.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $a,b,c$ be the numbers of $5$ -, $10$ -, and $25$ -cent stamps, and let $n=a+b+c.$ Dividing the value equation by $5$ gives $a+2b+5c=142,$ so $n+b+4c=142.$

Suppose $n\ge56.$ Then $b+4c\le86.$ Also $a=142-2b-5c\le20,$ so $2b+5c\ge122.$ Combining these inequalities gives $c\le16,$ but then $2b+5c\le2(20)+5(16)=120,$ a contradiction. Thus at most $55$ stamps can be used.

The bound is attainable with $a=19, b=19, c=17:$ $19(5)+19(10)+17(25)=710.$ Hence the greatest possible number of stamps is $19+19+17=55.$

Thus, E is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 14

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1480

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 14 en otros años