2020 AMC 8 Problema 24

Question

Una región cuadrada grande está pavimentada con

n^2

baldosas cuadradas sombreadas, cada una de

s

pulgadas por lado. Un borde de

d

pulgadas de ancho rodea cada baldosa. La figura de abajo muestra el caso para

n=3.

Cuando

n=24,

las

576

baldosas sombreadas cubren el

64\%

del área de la región cuadrada grande. ¿Cuál es la razón

\frac{d}{s}

para este valor más grande de

n

?

A large square region is paved with

n^2

shaded square tiles, each measuring

s

inches on a side. A border

d

inches wide surrounds each tile. The figure below shows the case for

n=3.

When

n=24,

the

576

shaded tiles cover

64\%

of the area of the large square region. What is the ratio

\frac{d}{s}

for this larger value of

n?

\dfrac{6}{25}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{9}{25}

\dfrac{7}{16}

\dfrac{9}{16}

Respuesta: A

Conceptos:razón de áreas cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

El lado grande mide

24s+25d

The large side length is

24s+25d

Pista grande:

Compara el área sombreada

24^2s^2

con el área total

Compare shaded area

24^2s^2

with total area

Solución en video:

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Solución escrita:

Para

n=24,

el área de las baldosas sombreadas es

24^2s^2.

Cada lado del cuadrado grande consta de

24

baldosas y

25

bordes, así que su longitud de lado es

24s+25d.

Las baldosas sombreadas cubren

64\%=\dfrac{16}{25}

del cuadrado grande, así que

\dfrac{24^2s^2}{(24s+25d)^2}=\dfrac{16}{25}.

Tomando raíces cuadradas positivas se obtiene

\dfrac{24s}{24s+25d}=\dfrac{4}{5}.

Así

120s=96s+100d,

por lo que

24s=100d

y

\dfrac{d}{s}=\dfrac{6}{25}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For

n=24,

the shaded tile area is

24^2s^2.

Each side of the large square consists of

24

tiles and

25

borders, so its side length is

24s+25d.

The shaded tiles cover

64\%=\dfrac{16}{25}

of the large square, so

\dfrac{24^2s^2}{(24s+25d)^2}=\dfrac{16}{25}.

Taking positive square roots gives

\dfrac{24s}{24s+25d}=\dfrac{4}{5}.

Thus

120s=96s+100d,

so

24s=100d

and

\dfrac{d}{s}=\dfrac{6}{25}.

Thus, the correct answer is A.