Cuando un entero positivo $N$ se introduce en una máquina, la salida es un número calculado según la regla que se muestra abajo.

Por ejemplo, comenzando con una entrada de $N=7,$ la máquina dará como salida $3 \cdot 7 + 1 = 22.$ Luego, si la salida se introduce repetidamente en la máquina cinco veces más, la salida final es $26.$ Cuando el mismo proceso de $6$ pasos se aplica a un valor inicial diferente de $N,$ la salida final es $1.$ ¿Cuál es la suma de todos esos enteros $N$? $$\begin{align*} &7 \to 22 \to 11 \to 34 \\ &\to 17 \to 52 \to 26 \end{align*}$$ $$\begin{align*} &N \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}}\\ &\to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to 1 \end{align*}$$

Respuesta: E

Conceptos:trabajar hacia atrásdiagrama de árbol

Nivel de dificultad: 1670

AMC 8AMC 10AMC 12AIME

Solución en video:

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Solución escrita:

Trabajemos hacia atrás desde $1.$ Un valor $m$ siempre puede provenir de la entrada par $2m.$ También puede provenir de la entrada impar $(m-1)/3$ cuando esta expresión es un entero impar positivo.

Al enumerar los valores posibles después de cada paso hacia atrás se obtiene $$\begin{aligned} \{1\}&\leftarrow\{2\}\leftarrow\{4\}\leftarrow\{1,8\}\\ &\leftarrow\{2,16\}\leftarrow\{4,5,32\}\\ &\leftarrow\{1,8,10,64\}. \end{aligned}$$ Por tanto, los valores iniciales posibles son $1,8,10,64,$ cuya suma es $83.$

Así, la respuesta correcta es E.

Work backward from $1.$ A value $m$ can always come from the even input $2m.$ It can also come from the odd input $(m-1)/3$ when that expression is a positive odd integer.

Listing the possible values after each backward step gives $$\begin{aligned} \{1\}&\leftarrow\{2\}\leftarrow\{4\}\leftarrow\{1,8\}\\ &\leftarrow\{2,16\}\leftarrow\{4,5,32\}\\ &\leftarrow\{1,8,10,64\}. \end{aligned}$$ Thus the possible starting values are $1,8,10,64,$ whose sum is $83.$

Thus, the correct answer is E.