2019 AMC 8 Problema 19
Intenta el Problema 19 del 2019 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución en video y solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
19.
En un torneo hay seis equipos que se enfrentan entre sí dos veces. Un equipo gana puntos por una victoria, punto por un empate y puntos por una derrota. Después de haberse jugado todos los partidos, resulta que los tres mejores equipos obtuvieron el mismo número total de puntos. ¿Cuál es el mayor número posible de puntos totales para cada uno de los tres mejores equipos?
In a tournament there are six teams that play each other twice. A team earns points for a win, point for a draw, and points for a loss. After all the games have been played it turns out that the top three teams earned the same number of total points. What is the greatest possible number of total points for each of the top three teams?
Respuesta: C
Pista pequeña:
Los tres mejores deben ganar todos los partidos contra los tres peores
The top three should win all games against the bottom three
Pista grande:
Entre los tres mejores, reparte equitativamente los puntos de cada par de partidos
Among the top three, keep all points while splitting each pair evenly
Solución en video:
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Solución escrita:
Cada uno de los tres mejores equipos juega partidos contra los tres últimos, por lo que puede obtener como máximo puntos de esos partidos.
Entre los tres mejores equipos hay pares y, por tanto, partidos. Cada partido reparte como máximo puntos en total, así que esos partidos reparten como máximo puntos entre los tres equipos. Si sus puntuaciones finales son iguales, cada uno puede recibir como máximo de esos puntos.
Así, cada equipo de los tres primeros tiene como máximo puntos. La cota se alcanza si todos vencen a los tres últimos y, en cada pareja de los tres primeros, cada equipo gana uno de sus dos partidos. Entonces cada uno obtiene puntos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Each top team plays games against the bottom three teams, so it can earn at most points from those games.
Among the top three teams, there are pairs and hence games. Each game awards at most points total, so these games award at most points among the three teams. If their final scores are equal, each can therefore receive at most of those points.
Thus each top team has at most points. This bound is attainable: let every top team win all its games against the bottom teams, and for each pair of top teams let each team win one of their two games. Then each top team earns points.
Thus, the correct answer is C.
El Problema 19 en otros años
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