Question

El número de $5$ dígitos $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ es divisible entre $9.$ ¿Cuál es el residuo cuando este número se divide entre $8$ ?

The $5$ -digit number $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ is divisible by $9.$ What is the remainder when this number is divided by $8?$

$1$

$3$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: B

Conceptos:divisibilidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Usa la regla de divisibilidad entre $9$ para determinar $U$ .

Use the divisibility-by- $9$ rule to determine $U$ .

Pista grande:

Una vez que se conoce $U$ , solo importan los últimos tres dígitos para el residuo módulo $8$ .

Once $U$ is known, only the last three digits matter for the remainder modulo $8$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Observa que un número es divisible entre $9$ si y solo si la suma de sus dígitos también es divisible entre $9.$

La suma de los dígitos del número de $5$ cifras del problema es $2+0+1+8+U= 11+U.$ Como $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ es divisible entre $9,$ $11+U$ también debe ser divisible entre $9.$ Además, como $U$ es un dígito, sabemos que $0\le U\le 9.$ Esto significa que $U$ solo puede ser $7.$

Ahora sabemos que el número de $5$ cifras en cuestión es $20187,$ y queremos hallar el residuo al dividir $20187$ entre $8.$ Para resolverlo, basta con hacer la división larga para ver que $20187=2523\cdot 8 + 3.$ Por lo tanto, el residuo es $3.$

Así, la respuesta correcta es B.

Notice that a number is divisible by $9$ if and only if the sum of its digits is also divisible by $9.$

The sum of the digits of the $5$ -digit number in the problem is: $2+0+1+8+U= 11+U.$ As $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ is divisible by $9,$ $11+U$ must also be divisible by $9.$ Also, as $U$ is a digit, we know that $0\le U\le 9.$ This means that $U$ can only be $7.$

Now we know that the $5$ -digit number in question is $20187,$ and we want to find the remainder when we divide $20187$ by $8.$ To solve this, simply use long division to see that $20187=2523\cdot 8 + 3.$ Therefore, the remainder is $3.$

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 8 Problema 7