Question

Un rectángulo de $3 \times 7$ se cubre sin superposición con $3$ formas de fichas: $2 \times 2$ , $1 \times 4$ y $1 \times 1$ , que se muestran abajo. ¿Cuál es el mínimo número posible de fichas de $1 \times 1$ que se pueden usar?

A $3 \times 7$ rectangle is covered without overlap by $3$ shapes of tiles: $2 \times 2,$ $1 \times 4,$ and $1 \times 1,$ shown below. What is the minimum possible number of $1 \times 1$ tiles used?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución en video:

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Solución escrita:

Las fichas de $2\times2$ y de $1\times4$ tienen cada una área $4$ . Como el rectángulo tiene área $21$ , el número de fichas de $1\times1$ debe ser congruente con $1\pmod4$ . Entre las opciones, solo $1$ y $5$ son posibles por área.

Es imposible usar una sola ficha de $1\times1$ . Si las fichas más grandes cubrieran las otras $20$ celdas, entonces dos filas tendrían sus $7$ celdas cubiertas por fichas más grandes. Pero cada ficha de $2\times2$ cubre $2$ celdas en cada fila que toca, y cada ficha de $1\times4$ cubre $4$ celdas en una fila, así que cada fila tendría un número par de celdas cubiertas por fichas más grandes. Una fila no puede tener $7$ de esas celdas.

El siguiente teselado muestra que $5$ fichas unitarias son posibles.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The $2\times2$ and $1\times4$ tiles each have area $4$ . Since the rectangle has area $21$ , the number of $1\times1$ tiles must be congruent to $1\pmod4$ . Among the choices, only $1$ and $5$ are possible by area.

It is impossible to use just one $1\times1$ tile. If the larger tiles covered the other $20$ cells, then two rows would have all $7$ cells covered by larger tiles. But each $2\times2$ tile covers $2$ cells in any row it meets, and each $1\times4$ tile covers $4$ cells in one row, so each row would have an even number of cells covered by larger tiles. A row cannot have $7$ such cells.

The following tiling shows that $5$ unit tiles are possible.

Thus, E is the correct answer.

2024 AMC 8 Problema 7

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 7 en otros años