2018 AMC 8 Problema 23
Intenta el Problema 23 del 2018 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución en video y solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
23.
A partir de un octágono regular, se forma un triángulo conectando tres vértices del octágono elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los lados del triángulo sea también un lado del octágono?
From a regular octagon, a triangle is formed by connecting three randomly chosen vertices of the octagon. What is the probability that at least one of the sides of the triangle is also a side of the octagon?
Respuesta: D
Pista pequeña:
Usa conteo complementario: cuenta los triángulos que no tienen vértices elegidos adyacentes.
Use complementary counting: count triangles with no adjacent chosen vertices.
Pista grande:
Después de fijar un vértice, cuenta los espacios positivos alrededor del octágono entre los vértices elegidos.
After fixing one vertex, count the positive gaps around the octagon between the chosen vertices.
Solución en video:
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Solución escrita:
Contemos el complemento: los triángulos sin dos vértices elegidos adyacentes. A partir de un vértice elegido, sean las cantidades positivas de vértices no elegidos en los tres espacios. Entonces , que tiene soluciones positivas.
Hay opciones para el vértice inicial, y cada triángulo se cuenta desde cada uno de sus vértices, por lo que el complemento contiene triángulos. De los triángulos totales, la probabilidad pedida es
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Count the complement: triangles with no two chosen vertices adjacent. Starting at a chosen vertex, let be the positive numbers of unchosen vertices in the three gaps. Then , which has positive solutions.
There are choices for the starting vertex, and each triangle is counted from each of its vertices, so the complement contains triangles. Out of total triangles, the desired probability is
Thus, D is the correct answer.
El Problema 23 en otros años
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