Question

A partir de un octágono regular, se forma un triángulo conectando tres vértices del octágono elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los lados del triángulo sea también un lado del octágono?

From a regular octagon, a triangle is formed by connecting three randomly chosen vertices of the octagon. What is the probability that at least one of the sides of the triangle is also a side of the octagon?

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{5}{42}$

$\dfrac{11}{14}$

$\dfrac{5}{7}$

$\dfrac{6}{7}$

Respuesta: D

Conceptos:conteo complementario estrellas y barras

Nivel de dificultad: 1650

Solución en video:

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Solución escrita:

Contemos el complemento: los triángulos sin dos vértices elegidos adyacentes. A partir de un vértice elegido, sean $x,y,z$ las cantidades positivas de vértices no elegidos en los tres espacios. Entonces $x+y+z=5$ , que tiene $\binom42=6$ soluciones positivas.

Hay $8$ opciones para el vértice inicial, y cada triángulo se cuenta desde cada uno de sus $3$ vértices, por lo que el complemento contiene $8\cdot6/3=16$ triángulos. De los $\binom83=56$ triángulos totales, la probabilidad pedida es $1-16/56=5/7.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Count the complement: triangles with no two chosen vertices adjacent. Starting at a chosen vertex, let $x,y,z$ be the positive numbers of unchosen vertices in the three gaps. Then $x+y+z=5$ , which has $\binom42=6$ positive solutions.

There are $8$ choices for the starting vertex, and each triangle is counted from each of its $3$ vertices, so the complement contains $8\cdot6/3=16$ triangles. Out of $\binom83=56$ total triangles, the desired probability is $1-16/56=5/7.$

Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 8 Problema 23

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1650

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Solución escrita:

El Problema 23 en otros años