2018 AMC 8 Problema 11

Question

Abby, Bridget y cuatro de sus compañeros se sentarán en dos filas de tres para una foto grupal, como se muestra.

\begin{array}{ccc} \text{\text{X}}&\text{X}&\text{X} \\ \text{X}&\text{X}&\text{X} \end{array}

Si las posiciones de los asientos se asignan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que Abby y Bridget queden adyacentes en la misma fila o la misma columna?

Abby, Bridget, and four of their classmates will be seated in two rows of three for a group picture, as shown.

\begin{array}{ccc} \text{\text{X}}&\text{X}&\text{X} \\ \text{X}&\text{X}&\text{X} \end{array}

If the seating positions are assigned randomly, what is the probability that Abby and Bridget are adjacent to each other in the same row or the same column?

\dfrac{1}{3}

\dfrac{2}{5}

\dfrac{7}{15}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Primero elige el asiento de Abby, luego cuenta cuántos asientos son adyacentes a él.

First choose Abby’s seat, then count how many seats are adjacent to it.

Pista grande:

Los asientos del centro y los asientos de las esquinas tienen distintas cantidades de asientos adyacentes.

Middle seats and corner seats have different numbers of adjacent seats.

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos dividir el problema en dos casos. En el caso

1,

Abby está en uno de los dos asientos del centro, y en el caso

2,

está en uno de los

4

asientos exteriores.

Primero observa que hay una probabilidad de

\dfrac26 = \dfrac13

de que el caso

1

sea cierto (es decir, que Abby esté en uno de los dos asientos del centro). Para que Bridget quede adyacente a Abby en este caso, debe estar en uno de los dos asientos junto a Abby en la misma fila, o en la misma columna que ella. Hay

3

formas de lograrlo entre los

5

asientos libres posibles, así que la probabilidad de que ocurra es

\frac35

. Por lo tanto, la probabilidad total de este caso es

\dfrac13 \cdot \dfrac35 = \dfrac{3}{15} .

Luego observa que hay una probabilidad de

\dfrac46 = \dfrac23

de que el caso

2

sea cierto (es decir, que Abby esté en los cuatro asientos exteriores). Para que Bridget quede adyacente a Abby en este caso, debe estar en el único asiento junto a Abby en la misma fila, o en la misma columna que Abby. Hay

2

formas de lograrlo entre los

5

asientos libres posibles, así que la probabilidad de que ocurra es

\frac25

. Por lo tanto, la probabilidad total de este caso es

\frac23 \cdot \frac25 = \frac{4}{15} .

Por lo tanto, la probabilidad final de que ocurra cualquiera de estos casos es

\dfrac{3}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{7}{15} .

Así, C es la respuesta correcta.

We can split the problem into two cases. In case

1,

Abby is in one of the middle two seats, and in case

2,

she is in one of the outer

4

seats.

Firstly notice that there is a

\dfrac26 = \dfrac13

probability of case

1

being true (i.e. Abby is in the middle two seats). For Bridget to be adjacent to Abby in this case, she must be in either of the two seats beside Abby in the same row, or she is in the same column as her. There are

3

ways to make this happen out of a possible

5

open seats, so there is a

\frac35

chance of this happening. Therefore, the total probability of this case is

\dfrac13 \cdot \dfrac35 = \dfrac{3}{15} .

Next, notice that there is a

\dfrac46 = \dfrac23