Question

Un triángulo con vértices $A=(1,3),$ $B=(5,1),$ y $C=(4,4)$ se dibuja en una cuadrícula $6\times5$ . ¿Qué fracción de la cuadrícula cubre el triángulo?

A triangle with vertices at $A=(1,3),$ $B=(5,1),$ and $C=(4,4)$ is plotted on a $6\times5$ grid. What fraction of the grid is covered by the triangle?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1320

Solución en video:

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Solución escrita:

El área total de la cuadrícula es $6\cdot5=30.$ Para hallar el área del triángulo, se coloca dentro del rectángulo de base $4$ y altura $3$ que se muestra a continuación.

El rectángulo tiene área $4\cdot3=12.$ Los tres triángulos de las esquinas tienen áreas $\dfrac12(4)(2)=4,$ $\dfrac12(1)(3)=\dfrac32,$ y $\dfrac12(3)(1)=\dfrac32.$ Por tanto, $\begin{aligned} [\triangle ABC] &= 12-4-\dfrac32-\dfrac32\\ &=5. \end{aligned}$

Por lo tanto, la fracción del área es $\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} .$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The total area of the grid is $6\cdot5=30.$ To find the area of the triangle, place it inside the $4$ -by- $3$ rectangle shown below.

The rectangle has area $4\cdot3=12.$ The three corner triangles have areas $\dfrac12(4)(2)=4,$ $\dfrac12(1)(3)=\dfrac32,$ and $\dfrac12(3)(1)=\dfrac32.$ Therefore, $\begin{aligned} [\triangle ABC] &= 12-4-\dfrac32-\dfrac32\\ &=5. \end{aligned}$

Therefore, the fraction of the area is $\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} .$

Thus, the correct answer is A .

2015 AMC 8 Problema 19

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1320

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 19 en otros años