2015 AMC 8 Problema 19

Question

Un triángulo con vértices

A=(1,3),

B=(5,1),

y

C=(4,4)

se dibuja en una cuadrícula

6\times5.

¿Qué fracción de la cuadrícula cubre el triángulo?

A triangle with vertices at

A=(1,3),

B=(5,1),

and

C=(4,4)

is plotted on a

6\times5

grid. What fraction of the grid is covered by the triangle?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

Coloca el triángulo dentro de un pequeño rectángulo alineado con la cuadrícula

Put the triangle inside a small rectangle aligned to the grid.

Resta al rectángulo los tres triángulos rectángulos de las esquinas

Subtract the three corner right triangles from the rectangle.

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El área total de la cuadrícula es

6\cdot5=30.

Para hallar el área del triángulo, se coloca dentro del rectángulo de base

4

y altura

3

que se muestra a continuación.

El rectángulo tiene área

4\cdot3=12.

Los tres triángulos de las esquinas tienen áreas

\dfrac12(4)(2)=4,

\dfrac12(1)(3)=\dfrac32,

y

\dfrac12(3)(1)=\dfrac32.

Por tanto,

\begin{aligned} [\triangle ABC] &= 12-4-\dfrac32-\dfrac32\\ &=5. \end{aligned}

Por lo tanto, la fracción del área es

\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The total area of the grid is

6\cdot5=30.

To find the area of the triangle, place it inside the

4

-by-

3

rectangle shown below.

The rectangle has area

4\cdot3=12.

The three corner triangles have areas

\dfrac12(4)(2)=4,

\dfrac12(1)(3)=\dfrac32,

and

\dfrac12(3)(1)=\dfrac32.

Therefore,

\begin{aligned} [\triangle ABC] &= 12-4-\dfrac32-\dfrac32\\ &=5. \end{aligned}

Therefore, the fraction of the area is

\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} .

Thus, the correct answer is A .

El Problema 19 en otros años