2012 AMC 8 Problema 11

Question

La media, la mediana y la moda única de los enteros positivos

3,

4,

5,

6,

6,

7,

y

x

son todas iguales. ¿Cuál es el valor de

x

?

The mean, median, and unique mode of the positive integers

3,

4,

5,

6,

6,

7,

and

x

are all equal. What is the value of

x?

5

6

7

11

12

Respuesta: D

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

La moda única debe ser el número repetido de la lista.

The unique mode must be the repeated listed number.

Pista grande:

Si la media es ese número, la suma total queda fija.

If the mean is that number, the total sum is fixed.

Solución en video:

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Solución escrita:

Todos los valores de la lista excepto

6

aparecen una vez, mientras que

6

aparece dos veces. Si

x

fuera igual a otro valor de la lista, habría dos modas y la moda no sería única. Por lo tanto, la moda única debe ser

6

. Esto también implica que

6

es la media. Como hay

7

elementos, la suma es

6\cdot 7 = 42.

La suma también es

3+4+5+6+6+7+x

= 31+x

= 42,

así que

x = 11.

Así, la respuesta es D.

Every listed value except

6

appears once while

6

appears twice. If

x

equals any of the other listed values, then we have two modes, which means we do not have a unique mode. Otherwise, the only value that shows up more than once is

6

making that the unique mode. This also means

6

is the mean. Since there are

7

elements, the sum of the elements is

6\cdot 7 = 42.

The sum is also

3+4+5+6+6+7+x

= 31+x

= 42,

so

x = 11.

Thus, the answer is D .