2010 AMC 8 Problema 18

Question

Una ventana decorativa está formada por un rectángulo con semicírculos en cada extremo. La razón de

AD

a

AB

es

3:2,

y

AB=30

pulgadas. ¿Cuál es la razón entre el área del rectángulo y las áreas combinadas de los semicírculos?

A decorative window is made up of a rectangle with semicircles on either end. The ratio of

AD

to

AB

is

3:2,

and

AB=30

inches. What is the ratio of the area of the rectangle to the combined areas of the semicircles?

\ 2:3

\ 3:2

\ 6:\pi

\ 9:\pi

\ 30 :\pi

Usa la razón

AD:AB=3:2

para expresar la altura del rectángulo en términos de

AB

Use the ratio

AD:AB=3:2

to express the rectangle height in terms of

AB

.

Los dos semicírculos se combinan en un círculo completo

The two semicircles combine to one full circle.

Al combinar los semicírculos se forma un círculo de diámetro

d=30.

Esto hace que el radio sea igual a

\dfrac{d}{2}.

Por lo tanto, el área combinada de los semicírculos es

(\dfrac{d}{2})^2 \cdot \pi = \dfrac{\pi d^2}{4}.

El lado

AD = \dfrac 32 d

porque

AD:AB=3:2

y

AB=d.

Por lo tanto, el área del rectángulo es

\dfrac 32 d^2.

La razón entre el área del rectángulo y el área de los semicírculos es

\dfrac{\dfrac 32 d^2}{\dfrac{\pi d^2}{4}} = \dfrac{6}{\pi}.

Por lo tanto, la respuesta es C.

Combining the semicircles would make a circle of diameter

d=30.

This would make the radius equal to

\dfrac{d}{2}.

Therefore, the combined area of the semicircles is

(\dfrac{d}{2})^2 \cdot \pi = \dfrac{\pi d^2}{4}.

Side

AD = \dfrac 32 d

because

AD:AB=3:2

and

AB=d.

The area of the rectangle is therefore

\dfrac 32 d^2.

The ratio of the area of the rectangle to the area of the semicircles is

\dfrac{\dfrac 32 d^2}{\dfrac{\pi d^2}{4}} = \dfrac{6}{\pi}.

Thus, the answer is C .

El Problema 18 en otros años