2008 AMC 8 Problema 22

Question

¿Para cuántos valores enteros positivos de

n

son

\dfrac{n}{3}

y

3n

ambos números enteros de tres dígitos?

For how many positive integer values of

n

are both

\dfrac{n}{3}

and

3n

three-digit whole numbers?

\ 12

\ 21

\ 27

\ 33

\ 34

Respuesta: A

Conceptos:conteo de enteros en un rango desigualdad

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Sea

x=\frac{n}{3}

. Entonces

n=3x

y

3n=9x

.

Let

x=\frac{n}{3}

. Then

n=3x

and

3n=9x

.

Pista grande:

Tanto

x

como

9x

deben ser números enteros de tres dígitos.

Both

x

and

9x

must be three-digit whole numbers.

Solución:

Sea

x=\dfrac{n}{3}

. Entonces

n=3x

, así que

3n=9x

.

Tanto

x

como

9x

deben ser números enteros de tres dígitos. Así,

100\le x

y

9x\le999

, de modo que

100\le x\le111

.

Hay

111-100+1=12

valores enteros de

x

, y cada uno da un valor entero positivo de

n

.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let

x=\dfrac{n}{3}

. Then

n=3x

, so

3n=9x

.

Both

x

and

9x

must be three-digit whole numbers. Thus

100\le x

and

9x\le999

, so

100\le x\le111

.

There are

111-100+1=12

integer values of

x

, and each gives one positive integer value of

n

.

Thus, A is the correct answer.