1997 AMC 8 Problema 11

Question

Sea

\boxed{N}

el número de divisores enteros de

N.

Por ejemplo,

\boxed{3}=2

porque

3

tiene dos divisores,

1

y

3.

Halla el valor de

\boxed{\boxed{11}\times\boxed{20}}.

Let

\boxed{N}

mean the number of whole number divisors of

N.

For example,

\boxed{3}=2

because

3

has two divisors,

1

and

3.

Find the value of

\boxed{\boxed{11}\times\boxed{20}}.

6

8

12

16

24

Respuesta: A

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Usa la factorización en primos para contar los divisores

Use prime factorization to count divisors

Pista grande:

Evalúa las cajas interiores antes de la caja exterior

Evaluate the inside boxes before the outside box

Solución:

Sabemos que

11

es primo, lo que significa que solo tiene

2

divisores.

La factorización en primos de

20

es

2^2 \cdot 5.

Recuerda que el número de divisores de un número es el producto de todos los exponentes de su factorización en primos, cada uno aumentado en uno.

Aquí, ese producto sería

(2 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6.

Entonces

2 \cdot 6 = 12.

La factorización en primos de

12

es

2^2 \cdot 3.

Este número también tiene

(2 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6

divisores.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We know that

11

is prime, which means that it only has

2

divisors.

The prime factorization of

20

is

2^2 \cdot 5.

Recall that the number of divisors a number has is the product of all the exponents plus one in the prime factorization.

Here, that product would be

(2 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6.

Then

2 \cdot 6 = 12.

We have the prime factorization of

12

is

2^2 \cdot 3.

This also has

(2 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6