1987 AMC 8 Problema 22

Question

ABCD

es un rectángulo,

D

es el centro del círculo y

B

está sobre el círculo. Si

AD = 4

y

CD = 3,

¿entre qué dos valores está el área de la región sombreada?

ABCD

is a rectangle,

D

is the center of the circle, and

B

is on the circle. If

AD = 4

and

CD = 3,

then the area of the shaded region is between which two values?

4

y

5

4

and

5

5

y

6

5

and

6

6

y

7

6

and

7

7

y

8

7

and

8

8

y

9

8

and

9

Respuesta: D

Conceptos:Teorema de Pitágoras sector circular

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

La diagonal

DB

es el radio; encuéntrala con el teorema de Pitágoras

The diagonal

DB

is the radius; find it with the Pythagorean theorem

Pista grande:

La región sombreada es un cuarto del círculo menos el rectángulo:

\dfrac14 \pi (5)^2 - 3 \cdot 4

The shaded region is a quarter of the circle with the rectangle removed:

\dfrac14 \pi (5)^2 - 3 \cdot 4

Solución:

Como

AD = 4

y

CD = 3,

la diagonal

DB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5,

que es el radio.

La región sombreada es el cuarto de círculo en

D

menos el rectángulo:

\begin{gathered} \dfrac14 \pi (5)^2 - (3)(4) = \dfrac{25\pi}{4} - 12 \\ \approx 19.6 - 12 = 7.6. \end{gathered}

Esto está entre

7

y

8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

AD = 4

and

CD = 3,

the diagonal

DB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5,

which is the radius.

The shaded region is the quarter circle at

D

minus the rectangle:

\begin{gathered} \dfrac14 \pi (5)^2 - (3)(4) = \dfrac{25\pi}{4} - 12 \\ \approx 19.6 - 12 = 7.6. \end{gathered}

This lies between

7

and

8.

Thus, the correct answer is D .