1987 AMC 12 第 29 题

Question

数列递归定义如下：

t_1=1

；当

n\gt1

时，

t_n=1+t_{\frac{n}{2}}

（此时

n

为偶数），而

t_n=\frac{1}{t_{n-1}}

（此时

n

为奇数）。已知

t_n=\frac{19}{87}

，则

n

的各位数字之和为

Consider the sequence of numbers defined recursively by

t_1=1

and for

n\gt1

by

t_n=1+t_{\frac{n}{2}}

when

n

is even and by

t_n=\frac{1}{t_{n-1}}

when

n

is odd. Given that

t_n=\frac{19}{87},

the sum of the digits of

n

is

15

17

19

21

23

答案：A

知识点：recursive sequence inverse recursion rational numbers

难度评级：2440

小提示：

大于

1

的数值来自偶数下标；介于

0

与

1

之间的数值来自奇数下标

Values greater than

1

come from even indices; values between

0

and

1

come from odd indices

大提示：

反向运用递推关系：对大于

1

的数值减去

1

，对小于

1

的数值取倒数

Reverse the recursion by subtracting

1

from values above

1

and taking reciprocals of values below

1

解答：

设

N(r)

表示数值

r

出现时的下标。反向运用递推关系可得：

N(r)=2N(r-1)

适用于

r\gt1

，而

N(r)=N(\frac{1}{r})+1

适用于

0\lt r\lt1

。

从

N(1)=1

开始反复运用这些关系，得到

N(2)=2

、

N(\frac{1}{2})=3

、

N(\frac{3}{2})=6

和

N(\frac{2}{3})=7

。继续可得

N(\frac{5}{3})=14

、

N(\frac{8}{3})=28

、

N(\frac{3}{8})=29

和

N(\frac{11}{8})=58

。

接下来，

N(\frac{8}{11})=59

、

N(\frac{19}{11})=118

、

N(\frac{11}{19})=119

、

N(\frac{30}{19})=238

、

N(\frac{49}{19})=476

，并且

N(\frac{68}{19})=952

。最后，

N(\frac{87}{19})=1904

，而

N(\frac{19}{87})=1905

。因此

n=1905

，其各位数字之和为

1+9+0+5=15

。

因此，正确答案是 A。

Let

N(r)

be the index at which the value

r

occurs. Reversing the recursion gives

N(r)=2N(r-1)

for

r\gt1,

and

N(r)=N(\frac{1}{r})+1

for

0\lt r\lt1.

Starting with

N(1)=1,

repeated use gives

N(2)=2,

N(\frac{1}{2})=3,

N(\frac{3}{2})=6,

and

N(\frac{2}{3})=7.

Continuing gives

N(\frac{5}{3})=14,

N(\frac{8}{3})=28,

N(\frac{3}{8})=29,

and

N(\frac{11}{8})=58.

Next,

N(\frac{8}{11})=59,

N(\frac{19}{11})=118,

N(\frac{11}{19})=119,

N(\frac{30}{19})=238,

N(\frac{49}{19})=476,

and

N(\frac{68}{19})=952.

Finally,

N(\frac{87}{19})=1904

and

N(\frac{19}{87})=1905.

Thus

n=1905,

whose digit sum is

1+9+0+5=15.

Therefore the correct answer is A.

1987 AMC 12 第 29 题

答案：A

难度评级：2440

小提示：

大提示：

解答：

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