Question

存在正整数 $x$ 和 $y$ 满足方程组设 $m$ 为 $x$ 的质因数分解中质因数的个数（不要求互异），设 $n$ 为 $y$ 的质因数分解中质因数的个数（不要求互异）。求 $3m + 2n$ 。 $\log_{10} x + 2\log_{10}(\gcd(x, y)) = 60$ $\begin{aligned} &\log_{10} y \\ &\quad {}+ 2\log_{10}(\operatorname{lcm}(x, y)) = 570. \end{aligned}$

There are positive integers $x$ and $y$ that satisfy the system of equations $\log_{10} x + 2\log_{10}(\gcd(x, y)) = 60$ $\begin{aligned} &\log_{10} y \\ &\quad {}+ 2\log_{10}(\operatorname{lcm}(x, y)) = 570. \end{aligned}$ Let $m$ be the number of (not necessarily distinct) prime factors in the prime factorization of $x,$ and let $n$ be the number of (not necessarily distinct) prime factors in the prime factorization of $y.$ Find $3m + 2n.$

答案

答案：880

知识点：最大公约数最小公倍数对数质因数分解

难度评级：2460

解答：

方程说明 $x \cdot \gcd(x,y)^2 = 10^{60}$ 且 $y \cdot \operatorname{lcm}(x,y)^2 = 10^{570}$ ，所以 $x$ 和 $y$ 只含质数 $2$ 与 $5$ 。固定其中一个质数，设它在 $x$ 和 $y$ 中的指数分别为 $a$ 与 $b$ 。由于最大公因数取较小指数、最小公倍数取较大指数， $\begin{aligned} a + 2\min(a, b) &= 60, \\ b + 2\max(a, b) &= 570. \end{aligned}$

若 $a \gt b$ ，则 $a + 2b = 60$ 且 $b + 2a = 570$ ；相加得 $a + b = 210$ ，相减得 $a - b = 510$ ，迫使 $b \lt 0$ ，不可能。因此 $a \le b$ ，方程变为 $3a = 60$ 与 $3b = 570$ ，对两个质数都得到 $a = 20$ 、 $b = 190$ 。

因此 $x = 2^{20} 5^{20}$ ， $y = 2^{190} 5^{190}$ ，所以 $m = 40$ 、 $n = 380$ ，且 $3m + 2n = 120 + 760 = 880$ 。

The equations say $x \cdot \gcd(x,y)^2 = 10^{60}$ and $y \cdot \operatorname{lcm}(x,y)^2 = 10^{570},$ so $x$ and $y$ are products of the primes $2$ and $5$ only. Fix one of these primes and let $a$ and $b$ be its exponents in $x$ and $y.$ Since the gcd takes the smaller exponent and the lcm the larger, $\begin{aligned} a + 2\min(a, b) &= 60, \\ b + 2\max(a, b) &= 570. \end{aligned}$

If $a \gt b,$ then $a + 2b = 60$ and $b + 2a = 570;$ adding gives $a + b = 210,$ and subtracting gives $a - b = 510,$ forcing $b \lt 0,$ impossible. So $a \le b,$ and the equations become $3a = 60$ and $3b = 570,$ giving $a = 20$ and $b = 190$ for both primes.

Thus $x = 2^{20} 5^{20}$ and $y = 2^{190} 5^{190},$ so $m = 40,$ $n = 380,$ and $3m + 2n = 120 + 760 = 880.$

2019 AIME I 第 7 题

答案：880

难度评级：2460

解答：

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