El círculo que se muestra abajo a la izquierda tiene un radio de $1$ unidad. La región entre el círculo y el cuadrado inscrito está sombreada. En el círculo que se muestra a la derecha, una cuarta parte de la región entre el círculo y el cuadrado inscrito está sombreada. Las regiones sombreadas de los dos círculos tienen la misma área. ¿Cuál es el radio $R,$ en unidades, del círculo de la derecha?

Respuesta: B

Conceptos:semejanzaescalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1310

AMC 8AMC 10AMC 12AIME

Solución en video:

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Solución escrita:

El diagrama de la derecha es semejante al de la izquierda, pero las áreas correspondientes del diagrama de la derecha son $4$ veces las áreas de la izquierda.

Así que cada longitud de la derecha es veces la longitud correspondiente de la izquierda. Esto da $R = 2,$ que es la opción B. $$R^2 = 4 \cdot 1^2,$$

Only one quarter of the gap between the circle and square is shaded on the right. For that shaded area to equal the whole gap on the left, the entire gap on the right must have $4$ times the area of the gap on the left.

The two circle-and-square figures are similar, and their areas scale as the square of their radii. Thus $$R^2 = 4 \cdot 1^2,$$ so $R = 2,$ which is choice B.