2025 AMC 8 Problema 18

Question

El círculo que se muestra abajo a la izquierda tiene un radio de

1

unidad. La región entre el círculo y el cuadrado inscrito está sombreada. En el círculo que se muestra a la derecha, una cuarta parte de la región entre el círculo y el cuadrado inscrito está sombreada. Las regiones sombreadas de los dos círculos tienen la misma área. ¿Cuál es el radio

R,

en unidades, del círculo de la derecha?

The circle shown below on the left has a radius of

1

unit. The region between the circle and the inscribed square is shaded. In the circle shown on the right, one quarter of the region between the circle and the inscribed square is shaded. The shaded regions in the two circles have the same area. What is the radius

R,

in units, of the circle on the right?

\sqrt{2}

2

2\sqrt{2}

4

4\sqrt{2}

Respuesta: B

Conceptos:semejanza escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Compara las áreas de las coronas sombreadas pensando en la escala

Match the shaded gap areas by thinking about scaling

Pista grande:

Las áreas escalan como el cuadrado del factor de escala de longitud

Areas scale as the square of the length scale factor

Solución en video:

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Solución escrita:

En el círculo de la derecha, solo una cuarta parte de la región entre el círculo y el cuadrado está sombreada. Para que esa área sombreada sea igual a toda la región de la izquierda, la región completa de la derecha debe tener

4

veces el área de la región de la izquierda.

Las dos figuras formadas por un círculo y su cuadrado inscrito son semejantes, y sus áreas escalan como el cuadrado de sus radios. Así

R^2 = 4 \cdot 1^2,

de donde

R = 2,

que es la opción B.

Only one quarter of the gap between the circle and square is shaded on the right. For that shaded area to equal the whole gap on the left, the entire gap on the right must have

4

times the area of the gap on the left.

The two circle-and-square figures are similar, and their areas scale as the square of their radii. Thus

R^2 = 4 \cdot 1^2,

so

R = 2,

which is choice B.