2024 AMC 8 Problema 24

Question

Jean hizo una obra de arte de vidrio de colores con forma de dos montañas, como se muestra en la figura de abajo. Una cima de montaña mide

8

pies de alto y la otra cima mide

12

pies de alto. Cada cima forma un ángulo de

90^\circ

, y los lados rectos de las montañas forman ángulos de

45^\circ

con el suelo. La obra tiene un área de

183

pies cuadrados. Los lados de las montañas se encuentran en un punto de intersección cerca del centro de la obra, a

h

pies sobre el suelo. ¿Cuál es el valor de

h

?

Jean made a piece of stained glass art in the shape of two mountains, as shown in the figure below. One mountain peak is

8

feet high and the other peak is

12

feet high. Each peak forms a

90^\circ

angle, and the straight sides of the mountains form

45^\circ

angles with the ground. The artwork has an area of

183

square feet. The sides of the mountains meet at an intersection point near the center of the artwork,

h

feet above the ground. What is the value of

h?

4

5

4\sqrt{2}

6

5\sqrt{2}

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo especial área inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Cada montaña se construye a partir de un triángulo

45^\circ

-

45^\circ

-

90^\circ

Each mountain is built from a

45^\circ

-

45^\circ

-

90^\circ

triangle

Pista grande:

Suma las áreas de los dos triángulos grandes y resta la superposición

Add the two large triangle areas and subtract the overlap

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada montaña es un triángulo

45^\circ\text{-}45^\circ\text{-}90^\circ

. Un triángulo rectángulo isósceles de altura

x

tiene área

x^2

, ya que sus dos lados perpendiculares miden cada uno

x\sqrt2

.

Las dos montañas grandes tienen áreas

8^2=64

y

12^2=144

. Su superposición también es un triángulo

45^\circ\text{-}45^\circ\text{-}90^\circ

de altura

h

, así que su área es

h^2

. Por lo tanto,

64+144-h^2=183,

de modo que

h^2=25

y

h=5

.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Each mountain is a

45^\circ\text{-}45^\circ\text{-}90^\circ

triangle. A right isosceles triangle with height

x

has area

x^2

, since its two perpendicular sides each have length

x\sqrt2

.

The two large mountains have areas

8^2=64

and

12^2=144

. Their overlap is also a

45^\circ\text{-}45^\circ\text{-}90^\circ

triangle with height

h

, so its area is

h^2

. Thus

64+144-h^2=183,

so

h^2=25

, and

h=5

.

Thus, B is the correct answer.