Question

Se insertan dos enteros en la lista $3, 3, 8, 11, 28$ para duplicar su rango. La moda y la mediana permanecen sin cambios. ¿Cuál es la suma máxima posible de los dos números adicionales?

Two integers are inserted into the list $3, 3, 8, 11, 28$ to double its range. The mode and median remain unchanged. What is the maximum possible sum of the two additional numbers?

$56$

$57$

$58$

$60$

$61$

Respuesta: D

Conceptos:rango mediana (datos)moda optimización

Nivel de dificultad: 1600

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

El rango original es $28-3=25,$ así que el nuevo rango debe ser $50.$ Para conservar la mediana $8,$ un número añadido $x$ debe ser menor que $8$ y el otro, $y,$ debe ser mayor que $8.$

Si $x\ge3,$ el mínimo sigue siendo $3,$ así que el nuevo máximo debe ser $53.$ El valor $x=3$ cambiaría la moda, por lo que $x\le7.$ Por tanto, $x+y\le7+53=60.$

Si $x<3$ y $y>28,$ entonces $y-x=50,$ de modo que $x+y=2x+50\le54.$ Si $y\le28,$ el máximo sigue siendo $28,$ lo que obliga a $x=-22$ y produce una suma aún menor. Por tanto, ningún caso supera $60.$

Los valores $x=7$ y $y=53$ conservan la moda y la mediana y producen un rango de $50,$ así que la suma máxima es $60.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The original range is $28-3=25,$ so the new range must be $50.$ To keep the median $8,$ one added number $x$ must be less than $8$ and the other, $y,$ must be greater than $8.$

If $x\ge3,$ the minimum remains $3,$ so the new maximum must be $53.$ The value $x=3$ would change the mode, so $x\le7.$ Hence $x+y\le7+53=60.$

If $x<3$ and $y>28,$ then $y-x=50,$ so $x+y=2x+50\le54.$ If $y\le28,$ the maximum remains $28,$ forcing $x=-22$ and giving an even smaller sum. Therefore no case exceeds $60.$

The values $x=7$ and $y=53$ preserve the mode and median and give range $50,$ so the maximum sum is $60.$

Thus, D is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1600

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 20 en otros años