2018 AMC 8 Problema 24

Question

En el cubo

ABCDEFGH

con vértices opuestos

C

y

E,

J

e

I

son los puntos medios de las aristas

\overline{FB}

y

\overline{HD},

respectivamente. Sea

R

la razón del área de la sección transversal

EJCI

al área de una de las caras del cubo. ¿Cuánto vale

R^2

?

In the cube

ABCDEFGH

with opposite vertices

C

and

E,

J

and

I

are the midpoints of edges

\overline{FB}

and

\overline{HD},

respectively. Let

R

be the ratio of the area of the cross-section

EJCI

to the area of one of the faces of the cube. What is

R^2?

\dfrac{5}{4}

\dfrac{4}{3}

\dfrac{3}{2}

\dfrac{25}{16}

\dfrac{9}{4}

Respuesta: C

Conceptos:geometría del cubo rombo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

El cuadrilátero

EJCI

es un rombo, así que usa sus diagonales.

The quadrilateral

EJCI

is a rhombus, so use its diagonals.

Pista grande:

Expresa las diagonales

IJ

y

CE

en términos de la longitud del lado del cubo.

Express the diagonals

IJ

and

CE

in terms of the cube side length.

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea

s

la longitud de una arista del cubo. Como cada lado de la sección transversal tiene la misma longitud, concluimos que

EJCI

es un rombo. Su área es

\frac12 IJ\cdot CE,

la mitad del producto de sus diagonales. Por el teorema de Pitágoras,

IJ=FH=s\sqrt{2}.

Aplicando de nuevo el teorema de Pitágoras,

\begin{align*}CE&=\sqrt{AC^2+AE^2}\\&=\sqrt{(s\sqrt{2})^2+s^2}\\&=\sqrt{2s^2+s^2}\\&=s\sqrt{3}\end{align*}

Por lo tanto,

\begin{align*}R&=\dfrac{\frac12 IJ\cdot CE}{s^2}\\&=\dfrac{\frac12 s^2\sqrt{2}\sqrt{3}}{s^2}\\&=\sqrt{\dfrac32}\end{align*}

Así,

R^2=\dfrac32,

y la respuesta correcta es C.

Allow

s

to represent the length of an edge of the cube. Noting that each side of the cross section is equal in length, we conclude that

EJCI

is a rhombus. The area of this rhombus can be calculated as

\frac12 IJ\cdot CE,

as the area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals. Using the Pythagorean Theorem:

IJ=FH=s\sqrt{2}.

Similarly, using the Pythagorean Theorem again lets us see that:

\begin{align*}CE&=\sqrt{AC^2+AE^2}\\&=\sqrt{(s\sqrt{2})^2+s^2}\\&=\sqrt{2s^2+s^2}\\&=s\sqrt{3}\end{align*}

Therefore,

\begin{align*}R&=\dfrac{\frac12 IJ\cdot CE}{s^2}\\&=\dfrac{\frac12 s^2\sqrt{2}\sqrt{3}}{s^2}\\&=\sqrt{\dfrac32}\end{align*}

Thus,

R^2=\dfrac32,

and the correct answer is C.