2017 AMC 8 Problema 18

Question

En el cuadrilátero no convexo

ABCD

que se muestra abajo,

\angle BCD

es un ángulo recto,

AB=12,

BC=4,

CD=3,

y

AD=13.

¿Cuál es el área del cuadrilátero

ABCD

?

In the non-convex quadrilateral

ABCD

shown below,

\angle BCD

is a right angle,

AB=12,

BC=4,

CD=3,

and

AD=13.

What is the area of quadrilateral

ABCD?

12

24

26

30

36

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pitágoras Terna pitagórica área

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Primero halla

BD

usando el pequeño triángulo rectángulo.

First find

BD

using the small right triangle.

Pista grande:

Luego reconoce el triángulo mayor como un triángulo rectángulo

5

-

12

-

13

y resta el área del triángulo pequeño.

Then recognize the larger triangle as a

5

-

12

-

13

right triangle and subtract the small triangle’s area.

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Como

\angle BCD

es un ángulo recto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras al

\triangle BCD

para obtener que

\overline{BD} = 5.

También obtenemos que

\angle DBA

es recto, ya que los lados del

\triangle BDA

forman un triple pitagórico.

Entonces el área de

ABCD

es igual a

\begin{align*} \text{área}(\triangle &BDA) - \text{área}(\triangle BCD) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 - \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 30 - 6 \\ &= 24. \end{align*}

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since

\angle BCD

is a right angle, we can apply the Pythagorean theorem to

\triangle BCD

to get that

\overline{BD} = 5.

We also get that

\angle DBA

is right since the sides of

\triangle BDA

form a Pythagorean triple.

Then the area of

ABCD

is equal to

\begin{align*} \text{area}(\triangle &BDA) - \text{area}(\triangle BCD) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 - \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 30 - 6 \\ &= 24. \end{align*}

Thus, B is the correct answer.