Question

En la figura dada, el hexágono $ABCDEF$ es equiángulo, $ABJI$ y $FEHG$ son cuadrados con áreas $18$ y $32$ respectivamente, $\triangle JBK$ es equilátero y $FE=BC.$ ¿Cuál es el área de $\triangle KBC$ ?

In the given figure hexagon $ABCDEF$ is equiangular, $ABJI$ and $FEHG$ are squares with areas $18$ and $32$ respectively, $\triangle JBK$ is equilateral and $FE=BC.$ What is the area of $\triangle KBC?$

$6\sqrt{2}$

$9$

$12$

$9\sqrt{2}$

$32$

Respuesta: C

Conceptos:polígono equiángulo triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 1510

Solución en video:

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Solución escrita:

El cuadrado de área $18$ tiene lado $JB=\sqrt{18}=3\sqrt2$ . Como $\triangle JBK$ es equilátero, $BK=3\sqrt2$ .

El cuadrado de área $32$ tiene lado $FE=\sqrt{32}=4\sqrt2$ . Como $FE=BC$ , tenemos $BC=4\sqrt2$ .

En la configuración del hexágono equiángulo, $B$ . Por lo tanto $60^\circ,$ $90^\circ,$ $120^\circ,$ $\begin{aligned} \angle KBC &= 360^\circ-60^\circ-90^\circ\\ &\qquad-120^\circ\\ &=90^\circ. \end{aligned}$ $[\triangle KBC]=\dfrac12(3\sqrt2)(4\sqrt2)=12.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The square with area $18$ has side length $JB=\sqrt{18}=3\sqrt2$ . Since $\triangle JBK$ is equilateral, $BK=3\sqrt2$ .

The square with area $32$ has side length $FE=\sqrt{32}=4\sqrt2$ . Since $FE=BC$ , we have $BC=4\sqrt2$ .

At $B$ , the equilateral triangle, square, and equiangular hexagon contribute angles of $60^\circ,$ $90^\circ,$ and $120^\circ,$ respectively. Hence $\begin{aligned} \angle KBC &= 360^\circ-60^\circ-90^\circ\\ &\qquad-120^\circ\\ &=90^\circ. \end{aligned}$ Therefore $[\triangle KBC]=\dfrac12(3\sqrt2)(4\sqrt2)=12.$

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 8 Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1510

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Solución escrita:

El Problema 21 en otros años