2007 AMC 8 Problema 24

Question

Una bolsa contiene cuatro trozos de papel, cada uno etiquetado con uno de los dígitos

1,

2,

3

o

4,

sin repeticiones. Se sacan tres de estos trozos, uno a la vez sin reemplazo, para construir un número de tres dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tres dígitos sea un múltiplo de

3

?

A bag contains four pieces of paper, each labeled with one of the digits

1,

2,

3

or

4,

with no repeats. Three of these pieces are drawn, one at a time without replacement, to construct a three-digit number. What is the probability that the three-digit number is a multiple of

3?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{4}

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad probabilidad básica dígitos

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Un número es divisible entre

3

exactamente cuando la suma de sus dígitos es divisible entre

3

A number is divisible by

3

exactly when its digit sum is divisible by

3.

Pista grande:

En lugar de ordenar los tres dígitos sacados, fíjate en qué dígito queda fuera

Instead of ordering the three drawn digits, look at which digit is left out.

Solución:

Recuerda que un número es divisible entre

3

si la suma de sus dígitos es divisible entre

3

.

Las únicas ternas de dígitos distintos de

1,2,3,4

cuya suma es divisible entre

3

son

(1,2,3)

y

(2,3,4)

.

Esto significa que el número construido es un múltiplo de

3

exactamente cuando

1

o

4

queda en la bolsa.

Cada uno de estos eventos tiene probabilidad

\dfrac{1}{4}

, para una probabilidad total de

2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}

.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Recall that a number is divisible by

3

if the sum of its digits is divisible by

3

.

The only triples of distinct digits from

1,2,3,4

whose sum is divisible by

3

are

(1,2,3)

and

(2,3,4)

.

This means the constructed number is a multiple of

3

exactly when either

1

or

4

is left in the bag.

Each of these events has probability

\dfrac{1}{4}

, for a total probability of

2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}

.

Thus, C is the correct answer.