2007 AMC 8 Problema 19

Question

Elige dos enteros positivos consecutivos cuya suma sea menor que

100.

Eleva al cuadrado ambos enteros y luego halla la diferencia de los cuadrados. ¿Cuál de las siguientes podría ser la diferencia?

Pick two consecutive positive integers whose sum is less than

100.

Square both of those integers and then find the difference of the squares. Which of the following could be the difference?

2

64

79

96

131

Sean los enteros consecutivos

x

y

x+1

Let the consecutive integers be

x

and

x+1

.

La diferencia de sus cuadrados se simplifica a la suma de los dos enteros

The difference of their squares simplifies to the sum of the two integers.

Sean los enteros positivos consecutivos

x

y

x+1

. Su suma es

2x+1

, que es menor que

100

.

La diferencia de sus cuadrados es

\begin{gathered} (x+1)^2-x^2 \\ = (x+1+x)(x+1-x) \\ = 2x+1. \end{gathered}

Así que la diferencia debe ser un número impar menor que

100

. Entre las opciones,

79

es la única posibilidad, y ocurre para

39

y

40

.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let the consecutive positive integers be

x

and

x+1

. Their sum is

2x+1

, which is less than

100

.

The difference of their squares is

\begin{gathered} (x+1)^2-x^2 \\ = (x+1+x)(x+1-x) \\ = 2x+1. \end{gathered}

So the difference must be an odd number less than

100

. Among the choices,

79

is the only possibility, and it occurs for

39

and

40

.

Thus, C is the correct answer.

El Problema 19 en otros años