1996 AMC 8 Problema 20

Question

Supón que hay una tecla especial en una calculadora que reemplaza el número

x

mostrado actualmente por el número dado por la fórmula

\frac{1}{1 - x}.

Por ejemplo, si la calculadora muestra

2

y se presiona la tecla especial, entonces la calculadora mostrará

-1,

ya que

\frac{1}{1 - 2} = -1.

Ahora supón que la calculadora muestra

5.

Después de presionar la tecla especial

100

veces seguidas, la calculadora mostrará

Suppose there is a special key on a calculator that replaces the number

x

currently displayed with the number given by the formula

\frac{1}{1 - x}.

For example, if the calculator is displaying

2

and the special key is pressed, then the calculator will display

-1

since

\frac{1}{1 - 2} = -1.

Now suppose that the calculator is displaying

5.

After the special key is pressed

100

times in a row, the calculator will display

-0.25

0

0.8

1.25

5

Respuesta: A

Conceptos:función aritmética modular

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Aplica la tecla unas cuantas veces empezando desde

5

y observa si aparece un ciclo repetitivo.

Apply the key a few times starting from

5

and watch for a repeating cycle

Pista grande:

Los valores se repiten con período

3;

halla dónde cae

100

en el ciclo.

The values cycle with period

3;

find where

100

lands in the cycle

Solución:

Partiendo de

5:

\frac{1}{1 - 5} = -0.25,

luego

\frac{1}{1 + 0.25} = 0.8,

luego

\frac{1}{1 - 0.8} = 5.

Los valores se repiten con período

3.

Como

100 = 3 \cdot 33 + 1,

la

100

ª pulsación da el mismo resultado que la primera pulsación,

-0.25.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Starting from

5:

\frac{1}{1 - 5} = -0.25,

then

\frac{1}{1 + 0.25} = 0.8,

then

\frac{1}{1 - 0.8} = 5.

The values repeat with period

3.

Since

100 = 3 \cdot 33 + 1,

the

100

th press gives the same result as the first press,

-0.25.

Thus, the correct answer is A .