Question

设 $K$ 是所有因子 $(b - a)$ 的乘积（这些因子不一定互不相同），其中整数 $a$ 和 $b$ 满足 $1 \le a \lt b \le 20$ 。求最大的正整数 $n$ ，使得 $2^n$ 整除 $K$ 。

Let $K$ be the product of all factors $(b - a)$ (not necessarily distinct) where $a$ and $b$ are integers satisfying $1 \le a \lt b \le 20.$ Find the greatest positive integer $n$ such that $2^n$ divides $K.$

答案

答案：150

知识点：质因数分解数对计数

难度评级：2230

解答：

对每个值 $v = b - a$ ，数对 $(a, b) = (1, v+1)$ ， $(2, v+2)$ ， $\ldots$ ， $(20-v, 20)$ 表明 $v$ 恰好出现 $20 - v$ 次，所以 $K = \prod_{v=1}^{19} v^{20-v}$ 。因此 $K$ 中因子 $2$ 的指数为 $\sum_v (20 - v)\,e(v)$ ，其中 $e(v)$ 是 $v$ 中因子 $2$ 的指数。

只有偶数 $v$ 有贡献： $v = 2, 6, 10, 14, 18$ 时 $e = 1$ ； $v = 4, 12$ 时 $e = 2$ ； $v = 8$ 时 $e = 3$ ； $v = 16$ 时 $e = 4$ 。总和为 $\begin{aligned} &18 + 16 \cdot 2 + 14 + 12 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 10 + 8 \cdot 2 + 6 + 4 \cdot 4 + 2 \\ &= 150, \end{aligned}$ 所以 $n = 150$ 。

For each value $v = b - a,$ the pairs $(a, b) = (1, v+1),$ $(2, v+2),$ $\ldots,$ $(20-v, 20)$ show that $v$ occurs exactly $20 - v$ times, so $K = \prod_{v=1}^{19} v^{20-v}.$ The exponent of $2$ in $K$ is therefore $\sum_v (20 - v)\,e(v),$ where $e(v)$ is the exponent of $2$ in $v.$

Only even $v$ contribute: $v = 2, 6, 10, 14, 18$ give $e = 1;$ $v = 4, 12$ give $e = 2;$ $v = 8$ gives $e = 3;$ and $v = 16$ gives $e = 4.$ The total is $\begin{aligned} &18 + 16 \cdot 2 + 14 + 12 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 10 + 8 \cdot 2 + 6 + 4 \cdot 4 + 2 \\ &= 150, \end{aligned}$ so $n = 150.$

2010 AIME II 第 3 题

答案：150

难度评级：2230

解答：

其他年份的第 3 题