2009 AIME I 第 7 题

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7.

数列

(a_n)

满足

a_1 = 1

，且满足

5^{(a_{n+1} - a_n)} - 1 = \frac{1}{n + \frac{2}{3}}

，其中

n \ge 1

。令

k

为大于

1

的最小整数，使得

a_k

是整数。求

k

。

The sequence

(a_n)

satisfies

a_1 = 1

and

5^{(a_{n+1} - a_n)} - 1 = \frac{1}{n + \frac{2}{3}}

for

n \ge 1.

Let

k

be the least integer greater than

1

for which

a_k

is an integer. Find

k.

答案

答案：41

知识点：裂项相消对数模运算

难度评级：2450

小提示：

将关系改写为

5^{a_{n+1} - a_n} = \frac{3n+5}{3n+2}

，再把连续的等式相乘，使中间因子逐项约去。

Rewrite the relation as

5^{a_{n+1} - a_n} = \frac{3n+5}{3n+2}

and multiply successive instances to telescope

大提示：

闭式为

a_k = \log_5(3k+2)

，所以需要

3k + 2

是

5

的幂。

The closed form is

a_k = \log_5(3k+2),

so you need

3k + 2

to be a power of

5

解答：

该关系给出

5^{a_{n+1} - a_n} = 1 + \frac{3}{3n + 2} = \frac{3n+5}{3n+2}

。将

n = 1

、

2

、

\ldots

、

k - 1

的这些等式相乘，中间因子逐项约去：

5^{a_k - a_1} = \frac{3k + 2}{5}\text{，}

所以

\begin{aligned} a_k &= 1 + \log_5 \frac{3k+2}{5} \\ &= \log_5 (3k + 2) \end{aligned}\text{。}

因此

a_k

为整数当且仅当

3k + 2

是

5

的幂。由于

5^j \equiv 2^j \pmod 3

，只有奇数指数

j

才能给出形如

3k + 2

的数。幂

5^1 = 5

给出

k = 1

被排除；下一个

5^3 = 125 = 3 \cdot 41 + 2

，给出

k = 41

。

The relation says

5^{a_{n+1} - a_n} = 1 + \frac{3}{3n + 2} = \frac{3n+5}{3n+2}.

Multiplying these equations for

n = 1,

2,

\ldots,

k - 1

telescopes:

5^{a_k - a_1} = \frac{3k + 2}{5},

so

\begin{aligned} a_k &= 1 + \log_5 \frac{3k+2}{5} \\ &= \log_5 (3k + 2). \end{aligned}

Thus

a_k

is an integer exactly when

3k + 2

is a power of

5.

Since

5^j \equiv 2^j \pmod 3,

only odd exponents

j

give numbers of the form

3k + 2.

The power

5^1 = 5

gives

k = 1,

which is excluded, and the next,

5^3 = 125 = 3 \cdot 41 + 2,

gives

k = 41.