2024 AMC 8 Problema 16
Intenta el Problema 16 del 2024 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución en video y solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
16.
Minh escribe los números del al en las celdas de una cuadrícula en algún orden. Calcula el producto de los números de cada fila y de cada columna. ¿Cuál es el menor número de filas y columnas que podrían tener un producto divisible por ?
Minh enters the numbers through into the cells of a grid in some order. She calculates the product of the numbers in each row and column. What is the least number of rows and columns that could have a product divisible by
Respuesta: D
Pista pequeña:
Solo los múltiplos de hacen que el producto de una fila o columna sea divisible por
Only multiples of make a row or column product divisible by
Pista grande:
Cubre los múltiplos de usando la menor cantidad posible de filas y columnas
Cover the multiples of using as few rows and columns as possible
Solución en video:
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Solución escrita:
Hay múltiplos de del al . Una fila o columna tiene producto divisible por exactamente cuando contiene al menos uno de estos múltiplos.
Supón que filas y columnas tienen productos divisibles por . Cada múltiplo de debe estar en una de esas filas y también en una de esas columnas, pues de lo contrario crearía otra fila o columna marcada. Así, los múltiplos deben caber en las celdas de intersección. Si , entonces , que es demasiado pequeño. Por lo tanto, se necesitan al menos filas y columnas.
Esto se puede lograr colocando múltiplos de en un bloque de , y luego colocando los múltiplos restantes en una sexta columna dentro de dos de esas mismas filas. Entonces quedan marcadas exactamente filas y columnas, para un total de .
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
There are multiples of from through . A row or column has product divisible by exactly when it contains at least one of these multiples.
Suppose rows and columns have products divisible by . Every multiple of must lie in one of those rows and also in one of those columns, or else it would create another marked row or column. Thus the multiples must fit in the intersection cells. If , then , which is too small. So at least rows and columns are needed.
This can be done by placing multiples of in a block, then placing the remaining multiples in a sixth column within two of those same rows. Then exactly rows and columns are marked, for a total of .
Thus, D is the correct answer.
El Problema 16 en otros años
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