Question

El Sr. Ramos aplicó una prueba a su clase de $20$ estudiantes. El diagrama de puntos de abajo muestra la distribución de las calificaciones.

Más tarde el Sr. Ramos descubrió que había un error de puntuación en una de las preguntas. Volvió a calificar las pruebas, otorgando a algunos estudiantes $5$ puntos adicionales, lo que aumentó la mediana de las calificaciones a $85.$ ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que recibieron puntos adicionales?

(Ten en cuenta que la mediana de las calificaciones es igual al promedio de las $2$ calificaciones del medio si las $20$ calificaciones se ordenan de menor a mayor.)

Mr. Ramos gave a test to his class of $20$ students. The dot plot below shows the distribution of test scores.

Later Mr. Ramos discovered that there was a scoring error on one of the questions. He regraded the tests, awarding some of the students $5$ extra points, which increased the median test score to $85.$ What is the minimum number of students who received extra points?

(Note that the median test score equals the average of the $2$ scores in the middle if the $20$ test scores are arranged in increasing order.)

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: C

Conceptos:mediana (datos)interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Todas las calificaciones son múltiplos de $5,$ y sumar $5$ conserva esa propiedad. Si las calificaciones $10$ .ª y $11$ .ª promedian $85$ pero no son ambas $85,$ entonces la $11$ .ª debe ser al menos $90.$ Eso exigiría por lo menos $10$ calificaciones de $90$ o más.

Sin embargo, incluso después de recalificar, solo las calificaciones originales de $85$ o más pueden llegar a $90.$ El diagrama tiene solo $7$ de esas calificaciones, de modo que las dos calificaciones centrales deben ser $85.$

Inicialmente hay $7$ calificaciones de al menos $85.$ Para que las calificaciones $10$ .ª y $11$ .ª sean ambas $85,$ debe haber al menos $11$ calificaciones de $85$ o más. Subir cuatro de los $80$ a $85$ es necesario y suficiente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

All scores are multiples of $5,$ and adding $5$ preserves that fact. If the $10$ th and $11$ th scores average $85$ but are not both $85,$ then the $11$ th score must be at least $90.$ That would require at least $10$ scores of $90$ or more.

However, even after regrading, only the original scores of $85$ or more can reach $90.$ The plot has only $7$ such scores, so the two middle scores must both be $85.$

The plot initially has $7$ scores of at least $85.$ To make the $10$ th and $11$ th scores both $85,$ there must be at least $11$ scores of at least $85.$ Raising four of the $80$ 's to $85$ is both necessary and sufficient.

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 8 Problema 19

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

El Problema 19 en otros años