2020 AMC 8 Problema 20

Question

Una científica que caminaba por un bosque registró como enteros las alturas de

5

árboles alineados en una fila. Observó que cada árbol era o bien el doble de alto o bien la mitad de alto que el que estaba a su derecha. Desafortunadamente, parte de sus datos se perdió cuando la lluvia cayó sobre su cuaderno. Sus notas se muestran abajo, con los espacios en blanco indicando los números faltantes. Basándose en sus observaciones, la científica pudo reconstruir los datos perdidos. ¿Cuál fue la altura promedio de los árboles, en metros?

\begin{array}{|c|c|}\hline T_1&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_2&11\,\mathrm m\\T_3&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_4&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_5&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\\hline\overline T&\underline{\phantom{00}}.2\,\mathrm m\\\hline\end{array}

A scientist walking through a forest recorded as integers the heights of

5

trees standing in a row. She observed that each tree was either twice as tall or half as tall as the one to its right. Unfortunately some of her data was lost when rain fell on her notebook. Her notes are shown below, with blanks indicating the missing numbers. Based on her observations, the scientist was able to reconstruct the lost data. What was the average height of the trees, in meters?

\begin{array}{|c|c|}\hline T_1&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_2&11\,\mathrm m\\T_3&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_4&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_5&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\\hline\overline T&\underline{\phantom{00}}.2\,\mathrm m\\\hline\end{array}

22.2

24.2

33.2

35.2

37.2

Respuesta: B

Conceptos:análisis por casos media

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Las alturas enteras obligan a que los vecinos de

11

sean

22

Integer heights force the neighbors of

11

to be

22

Pista grande:

El promedio que termina en

0.2

significa que el total termina en

1

módulo

5

The average ending in

0.2

means the total ends in

1

mod

5

Solución en video:

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Solución escrita:

El árbol

2

mide

11

metros. Como todas las alturas son enteras y los árboles vecinos difieren por un factor de

2,

los árboles

1

y

3

deben medir ambos

22

metros.

Los primeros tres árboles suman

22+11+22=55

metros. Los pares de alturas enteras posibles para los árboles

4

y

5

son

(11,22),

(44,22),

y

(44,88).

Estos pares dan los promedios

17.6,

24.2,

y

37.4,

respectivamente. El cuaderno muestra que el promedio termina en

0.2,

así que debe ser

24.2.

Así, la respuesta correcta es B.

Tree

2

is

11

meters tall. Since all heights are integers and neighboring trees differ by a factor of

2,

trees

1

and

3

must both be

22

meters tall.

The first three trees total

22+11+22=55

meters. The possible integer pairs for trees

4

and

5

are

(11,22),

(44,22),

and

(44,88).

These give averages

17.6,

24.2,

and

37.4,

respectively. The notebook shows that the average ends in

0.2,

so it must be

24.2.

Thus, the correct answer is B.