Una científica que caminaba por un bosque registró como enteros las alturas de $5$ árboles alineados en una fila. Observó que cada árbol era o bien el doble de alto o bien la mitad de alto que el que estaba a su derecha. Desafortunadamente, parte de sus datos se perdió cuando la lluvia cayó sobre su cuaderno. Sus notas se muestran abajo, con los espacios en blanco indicando los números faltantes. Basándose en sus observaciones, la científica pudo reconstruir los datos perdidos. ¿Cuál fue la altura promedio de los árboles, en metros?

$$\begin{array}{|c|c|}\hline T_1&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_2&11\,\mathrm m\\T_3&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_4&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_5&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\\hline\overline T&\underline{\phantom{00}}.2\,\mathrm m\\\hline\end{array}$$

Respuesta: B

Conceptos:análisis por casosmedia

Nivel de dificultad: 1370

AMC 8AMC 10AMC 12AIME

Solución en video:

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Solución escrita:

El árbol $2$ mide $11$ metros. Como todas las alturas son enteras y los árboles vecinos difieren por un factor de $2,$ los árboles $1$ y $3$ deben medir ambos $22$ metros.

Los primeros tres árboles suman $22+11+22=55$ metros. Los pares de alturas enteras posibles para los árboles $4$ y $5$ son $(11,22),$ $(44,22),$ y $(44,88).$

Estos pares dan los promedios $17.6,$ $24.2,$ y $37.4,$ respectivamente. El cuaderno muestra que el promedio termina en $.2,$ así que debe ser $24.2.$

Así, la respuesta correcta es B.

Tree $2$ is $11$ meters tall. Since all heights are integers and neighboring trees differ by a factor of $2,$ trees $1$ and $3$ must both be $22$ meters tall.

The first three trees total $22+11+22=55$ meters. The possible integer pairs for trees $4$ and $5$ are $(11,22),$ $(44,22),$ and $(44,88).$

These give averages $17.6,$ $24.2,$ and $37.4,$ respectively. The notebook shows that the average ends in $.2,$ so it must be $24.2.$

Thus, the correct answer is B.