Question

Hay $81$ puntos de una cuadrícula (uniformemente espaciados) en el cuadrado que se muestra en el diagrama de abajo, incluidos los puntos en los bordes. El punto $P$ está en el centro del cuadrado. Dado que el punto $Q$ se elige al azar entre los otros $80$ puntos, ¿cuál es la probabilidad de que la recta $PQ$ sea un eje de simetría del cuadrado?

There are $81$ grid points (uniformly spaced) in the square shown in the diagram below, including the points on the edges. Point $P$ is in the center of the square. Given that point $Q$ is randomly chosen among the other $80$ points, what is the probability that the line $PQ$ is a line of symmetry for the square?

$\displaystyle \dfrac{1}{5}$

$\displaystyle \dfrac{1}{4}$

$\displaystyle \dfrac{2}{5}$

$\displaystyle \dfrac{9}{20}$

$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1070

Solución en video:

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Solución escrita:

Los únicos ejes de simetría de un cuadrado son sus dos diagonales y las dos rectas que unen puntos medios opuestos.

En cada eje de simetría hay $8$ puntos de la cuadrícula distintos de $P.$ Los cuatro ejes solo se cortan en $P,$ que no se puede elegir, así que hay $4 \cdot 8 = 32$ opciones distintas para $Q.$

Por tanto, la probabilidad es $\dfrac{32}{80} = \dfrac{2}{5}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Note the only lines of symmetry for a square are the two diagonals and the two lines connecting opposite midpoints.

On each symmetry line there are $8$ grid points other than $P.$ The four lines intersect only at $P,$ which is not eligible, so these give $4 \cdot 8 = 32$ distinct choices for $Q.$

The probability is therefore $\dfrac{32}{80} = \dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

2019 AMC 8 Problema 6

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1070

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 6 en otros años