2019 AMC 8 Problema 21

Question

¿Cuál es el área del triángulo formado por las rectas

y = 5,

y = 1 + x,

y

y = 1 - x

?

What is the area of the triangle formed by the lines

y = 5,

y = 1 + x,

and

y = 1 - x?

4

8

10

12

16

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica área del triángulo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Halla las tres intersecciones por pares

Find the three pairwise intersections

Pista grande:

Usa el lado horizontal sobre

y = 5

como la base

Use the horizontal side on

y = 5

as the base

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, hallemos los vértices del triángulo. Las intersecciones entre

y = 5

y las otras dos rectas son

(4, 5)

y

(-4, 5)

.

Para hallar la tercera intersección, podemos igualar las dos ecuaciones para obtener

1 + x = 1 - x \Rightarrow x = 0.

Esto nos da el punto

(0, 1).

Nota que los dos primeros puntos de intersección son simétricos respecto al eje

y

. Esto nos dice que el triángulo es isósceles.

Por lo tanto, la base es

2 \cdot 4 = 8,

y la altura es

5 - 1 = 4.

Así, el área del triángulo es

\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16.

Así, la respuesta correcta es E.

First, let us find the vertices of the triangle. The intersections between

y = 5

and the other two lines are

(4, 5)

and

(-4, 5)

.

To find the third intersection, we can equate the two equations to get

1 + x = 1 - x \Rightarrow x = 0.

This gives us the point

(0, 1).

Note that the first two intersection points are mirrored across the

y

-axis. This tells us that the triangle is isosceles.

The base is therefore

2 \cdot 4 = 8,

and the height is

5 - 1 = 4.

The area of the triangle is therefore

\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16.

Thus, the correct answer is E.