2018 AMC 8 Problema 10

Question

La media armónica de un conjunto de números distintos de cero es el recíproco del promedio de los recíprocos de los números. ¿Cuál es la media armónica de

1,

2,

y

4

?

The harmonic mean of a set of non-zero numbers is the reciprocal of the average of the reciprocals of the numbers. What is the harmonic mean of

1,

2,

and

4?

\dfrac{3}{7}

\dfrac{7}{12}

\dfrac{12}{7}

\dfrac{7}{4}

\dfrac{7}{3}

Respuesta: C

Conceptos:media armónica fracción

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Promedia los recíprocos de

1,2,

y

4

.

Average the reciprocals of

1,2,

and

4

.

Pista grande:

La media armónica es el recíproco de ese promedio.

The harmonic mean is the reciprocal of that average.

Solución en video:

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Solución escrita:

Los recíprocos de

1

,

2

y

4

son

\dfrac11

,

\dfrac12

y

\dfrac14

, respectivamente. El promedio de estos recíprocos es

\begin{align*}\dfrac{\left(1 + \dfrac12 + \dfrac14\right)}{3} &= \dfrac{\left(\dfrac{7}{4}\right)}{3} \\&= \dfrac{7}{12}. \end{align*}

Como la media armónica es el recíproco del promedio de los recíprocos de los números (que acabamos de calcular como

\dfrac{7}{12}

), concluimos que la media armónica es

\dfrac{12}{7}.

Así, la respuesta correcta es C.

The reciprocals of

1

,

2

, and

4

are

\dfrac11

,

\dfrac12

, and

\dfrac14

, respectively. The average of these reciprocals is

\begin{align*}\dfrac{\left(1 + \dfrac12 + \dfrac14\right)}{3} &= \dfrac{\left(\dfrac{7}{4}\right)}{3} \\&= \dfrac{7}{12}. \end{align*}

As the harmonic mean is the reciprocal of the average of the reciprocals of the numbers (which we just calculated to be

\dfrac{7}{12}

), we conclude that the harmonic mean is

\dfrac{12}{7}.

Thus, the correct answer is C.